Преобразование матриц над полем по модулю 2

[situs]

Доброго времени суток!

Я продолжаю работать с симметричными квадратными матрицами над $\mathbb{Z}_2$. Главная диагональ всегда нулевая.

Договоримся, что блок вида $\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$ будем называть клеткой матрицы и обозначать $\mathbf{B}_1$.

Подскажите, пожалуйста, как показать, что в результате сложения, по модулю 2 естественно, строк (столбцов) таких матриц любого размера всегда получается одна из следующих матриц:

$ \mathbf{A}_1 = \mathbb{O}, \quad \mathbf{A}_2 = \begin{pmatrix} \mathbf{B}_1 & \dots & \mathbb{O} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbb{O} & \dots & \mathbf{B}_1} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A}_3 = \begin{pmatrix} \mathbf{B}_1 & \dots & \mathbb{O} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \mathbb{O} & \dots & \mathbf{B}_1 & 0\\ 0 & \dots & 0 & 0\\} \end{pmatrix}$

На матрицах размера $3 \times 3$ - это действительно так, я проверил. Но нужен общий случай. Может быть существуют какие-то теоремы на этот счёт?

[warlock66613]

Обычно теоремы про матрицы произвольного размера доказываются индукцией по количеству строк (= столбцов).

[Munin]

situs в сообщении #1378428 писал(а):

$\begin{pmatrix} \mathbf{B}_1 & \dots & \mathbb{O} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbb{O} & \dots & \mathbf{B}_1 \end{pmatrix}$

И как же понимать эту запись? Загадка.

(Оффтоп)

Несколько интерпретаций:

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{B}_1 & \dots & \mathbf{B}_1 & \mathbb{O} \\ \vdots & \ddots & & \mathbf{B}_1 \\ \mathbf{B}_1 & & \ddots & \vdots \\ \mathbb{O} & \mathbf{B}_1 & \dots & \mathbf{B}_1 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} \mathbf{B}_1 & \mathbb{O} &\dots & \mathbb{O} \\ \mathbb{O} & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \mathbb{O} \\ \mathbb{O} & \dots & \mathbb{O} & \mathbf{B}_1 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} \mathbf{B}_1 & \mathbf{B}_1/\mathbb{O} & \dots & \mathbf{B}_1/\mathbb{O} & \mathbb{O} \\ \mathbf{B}_1/\mathbb{O} & \ddots & & & \mathbf{B}_1/\mathbb{O} \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ \mathbf{B}_1/\mathbb{O} & & & \ddots & \mathbf{B}_1/\mathbb{O} \\ \mathbb{O} & \mathbf{B}_1/\mathbb{O} & \dots & \mathbf{B}_1/\mathbb{O} & \mathbf{B}_1 \end{pmatrix} $$

[situs]

Думаю, лучше подходит второй вариант:

$\mathbf{A}_2 = \begin{pmatrix} \mathbf{B}_1 & \mathbb{O} &\dots & \mathbb{O} \\ \mathbb{O} & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \mathbb{O} \\ \mathbb{O} & \dots & \mathbb{O} & \mathbf{B}_1 \end{pmatrix}$

Я про такие $n \times n$ матрицы, где $n$ кратно $2$:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

[Xaositect]

Не совсем понятно, что значит "в результате сложения строк (столбцов)".

[situs]

Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца).

-- 26.02.2019, 14:27 --

Можно сколько угодно раз выполнять такое преобразование с любыми строками (столбцами) и в итоге получится какой нибудь результат.

[Xaositect]

Теорема сформулирована почти верно. В общем случае появятся еще промежуточные варианты с нулевыми блоками на диагонали.
Следует это из теории кососимметричных билинейных форм.

По матрице $A$ определим форму $A(x, y) = \sum a_{ij} x_i y_i$ на $V = \mathbb{Z}_2^n$. Она кососимметрическая в смысле $A(x, x) = 0$. В характеристике 2 из этого следует $A(x, y) = A(y, x)$.
Для вектора $e$ возможны два варианта:
1. $A(e, y) = 0$ для всех $y$ (нулевая строка).
2. Существует вектор $f$ такой, что $A(e, f) = 1$. В этом cлучае можно взять попространство $V' = \{y \mid A(e, y) = A(f, y) = 0\}$. У него будет размерность $n - 2$, и в соответствующем базисе матрица будет $\mathbf{B_1} \oplus A'$.

Дальше индукция.

situs в сообщении #1378428 писал(а):

Я продолжаю работать с симметричными квадратными матрицами над $\mathbb{Z}_2$. Главная диагональ всегда нулевая.

Так что это, на самом деле, кососимметрические матрицы :)

[Munin]

situs в сообщении #1378502 писал(а):

Думаю, лучше подходит второй вариант:

Это называется "блочно-диагональная матрица". Вообще смысл был в том, что условия надо внятно ставить, а не оставлять возможностей для кучи разных интерпретаций.

[situs]

Xaositect
Спасибо! Выручили.

Я просто думал, что кососимметричные матрицы - это ровно те, у которых $a_{ij} = -a_{ji}$

-- 26.02.2019, 19:35 --

Xaositect в сообщении #1378509 писал(а):

Она кососимметрическая в смысле $A(x, x) = 0$

Это как-то не очень понятно.

[Munin]

Xaositect в сообщении #1378509 писал(а):

Так что это, на самом деле, кососимметрические матрицы :)

situs в сообщении #1378547 писал(а):

Я просто думал, что кососимметричные матрицы - это ровно те, у которых $a_{ij} = -a_{ji}$

Общепринятое определение кососимметричных матриц вводится для полей характеристики $\ne 2.$ Видимо, для поля характеристики 2 необходимо дополнительно оговаривать, считаются ли элементы на диагонали нулевыми, или нет. Соответственно, получаются разные объекты, разные свойства и разные теории.

Если уважаемый Xaositect имеет источники по теории кососимметричных матриц над полем характеристики 2, то прошу поделиться ссылками.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1378554 писал(а):

Если уважаемый Xaositect имеет источники по теории кососимметричных матриц над полем характеристики 2, то прошу поделиться ссылками.

R.Elman, N. Karpenko, A. Merkurjev "The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms", первая глава.

[situs]

Какая в этой теории есть теорема, следствием которой может быть тот факт, что если ранг матрицы не более $2$, то размер матрицы не превосходит $3 \times 3$?

[Munin]

А разве это факт? Можно взять нулевую матрицу любого размера. Её ранг 0, и она кососимметрична по любому определению.

[situs]

Кроме нулевых матриц, думаю что факт.

[Munin]

Послушайте, вы совсем ни секунды ни думали, что ли?
Можно взять вашу матрицу $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),$ и расширить её нулями до матрицы любого размера $\geqslant 2.$ Можно и много других примеров придумать. И все они будут нарушать ваш "факт".