Преобразование матриц над полем по модулю 2

[situs]

Думал, но видимо очень мало. Спасибо за коррекцию!

Если ранг матрицы не более $2$ и при этом матрица ненулевая, то это матрица либо $\mathbf{B}_1 = \left( \begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$, либо матрица произвольного размера $\geqslant 2$ , которая может быть элементарными преобразованиями - сложением строк (столбцов) по модулю 2, удалением нулевых строк (столбцов), преобразована к $\mathbf{B}_1$.

[Munin]

А вот в такой формулировке это верно над любым полем (с соответствующими элементарными преобразованиями).

[situs]

Значит выводить, доказывать это и не надо? Теоремы не нужны.

[situs]

Xaositect в сообщении #1378509 писал(а):

Следует это из теории кососимметричных билинейных форм.

По матрице $A$ определим форму $A(x, y) = \sum a_{ij} x_i y_i$ на $V = \mathbb{Z}_2^n$. Она кососимметрическая в смысле $A(x, x) = 0$. В характеристике 2 из этого следует $A(x, y) = A(y, x)$.
Для вектора $e$ возможны два варианта:
1. $A(e, y) = 0$ для всех $y$ (нулевая строка).
2. Существует вектор $f$ такой, что $A(e, f) = 1$. В этом cлучае можно взять попространство $V' = \{y \mid A(e, y) = A(f, y) = 0\}$. У него будет размерность $n - 2$, и в соответствующем базисе матрица будет $\mathbf{B_1} \oplus A'$.

Вот здесь я так и понял. В теории практически везде рассматриваются блоки $\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$.

[vpb]

situs в сообщении #1378903 писал(а):

Какая в этой теории есть теорема, следствием которой может быть тот факт, что если ранг матрицы не более $2$, то размер матрицы не превосходит $3 \times 3$?

Наоборот только: если размер кососимметричной матрицы не превосходит 3, то ее ранг $\leq2$ (следует из того, что ранг кососимметричной матрицы всегда четен). Почитайте Кострикина, т.2, гл.1. Правда, там рассматривается как раз только случай поля характеристики $\ne2$, однако рассуждения легко переносятся и на случай характеристики $2$ (но при этом следует рассматривать не просто кососимметричные матрицы, что в характеристике 2 совпадает с понятием симметрических матриц, а симплектические, т.е. кососимметрические с нулевой диагональю).

-- 28.02.2019, 02:06 --

situs в сообщении #1378937 писал(а):

В теории практически везде рассматриваются блоки

так обратите внимание, что $-1=1$ в характеристике $2$.

-- 28.02.2019, 02:12 --

situs в сообщении #1378925 писал(а):

которая может быть элементарными преобразованиями - сложением строк (столбцов) по модулю 2, удалением нулевых строк (столбцов

И еще. При совершении каких-то преобразований над строками надо одновременно делать точно такие же преобразования над столбцами, иначе матрица утратит симметричность (или симплектичность) (в этом месте у меня появилось подозрение, что Вы плохо читали учебник...).

[situs]

Спасибо!

У симплектических матриц размер же кратен 2, т.е. $2n \times 2n$. Я говорю про любую размерность больше двух.

Мне бы найти какую-то теорию с выводом фактов исходя из посылки, что предположим ранг рассатриваемых мной матриц не более $2$. Я не могу понять, что же из этого еще может следовать.