Предел функции в математике и в реальной жизни

[Alcest]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Сразу скажу, что с абстрактным мышлением у меня полный швах, отчего даже отрицательные числа иначе как на координатной прямой представить себе не могу. Но, в силу обстоятельств пришлось заняться изучением математических функций... Сказать, что испытываю большие трудности в этом деле, значит ничего не сказать...

Первое обо что споткнулся, это предел функции.

Цитата:

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

А чем он, собственно, определяется, предел? Чем ограничено его минимальное значение "на бумаге"? Смотрю примеры в учебниках, самые простые, вроде этого:

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\]$

В учебнике показано, как при разных значениях $\[x\]$ все более приближающихся к 1 изменяется значение $\[y = f(x)\]$. Но ни слова о том, почему и откуда автор учебника взял такие значения $\[x\]$ как 1.5, 1.1 или 1.01. Почему бы сразу не 1.000001, например? Понятно, что в реальной жизни предел ограничен всем, чем только можно: точностью измерительных приборов и инструментов, разрядностью компьютеров и калькуляторов, интеллектуальными и физическими (нужно спать и кушать) возможностями человека ищущего предел функции и т.п. В "чистой" же математике предел чем-то ограничен или может быть сколь угодно малым? Те значения что приводятся в учебниках, они только для примера, или указаны некие крайние значения которые можно получить?

P.S. Я прекрасно понимаю, что пределы - обширная и сложная тема. Я всего лишь ищу ответ на вопрос - то что пишут в примерах с пределами в учебниках берется с потолка или имеет под собой какое-то теоретическое (практическое) обоснование?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- определение предела приведите, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.