|
1. Предварительные замечания
Итак, Большая теорема Ферма утверждает, что уравнения вида
an + bn = cn , ( 1 )
где a , b , c - целые числа , n > 1 – натуральные числа, имеют решения только при n = 2 [ 1 ].
1.1. Уравнение (1) можно представить как
an = cn - bn ( 2 )
или
- an - bn = - cn .
Это говорит о том, что необходимо и достаточно искать решения уравнений ( 1 ) в натуральных a , b , c . Натуральность чисел совокупности ( a , b , c ) предполагается в дальнейшем изложении.
1.2 Если совокупность (a , b , c ) есть решение уравнения ( 1 ), то решением будет и совокупность (ma , mb , mc ), где m > 1 – натуральное число. Тогда, существует решение уравнения ( 1 ) такое, что числа совокупности (a , b , c ) не имеют общих простых сомножителей, т.е. являются взаимно простыми. Такую совокупность назовем первообразной совокупностью. Первообразность совокупностей (a , b , c ) предполагается в дальнейшем изложении.
1.3. Из ( 1 ) и 1.2. следует, что совокупность (a , b , c ) не может состоять только из четных или только из нечетных чисел, содержать два четных числа. Значит, числа a и b могут быть либо оба нечетными, либо нечетным и четным числами. Поэтому, в дальнейшем будем полагать, что число а – всегда нечетно.
1.4. Если an + bn = cn , то an+k + bn+k cn+k . Это означает, что первообразные совокупности (a , b , c ) для n не могут быть такими же для n+k , т.е. не могут совпадать полностью. Исключение составляет случай а = 0, b = c (или наоборот).
В свою очередь, уравнения вида (a/c)n + (b/c)n = 1n или (x)n + (y)n = 1n при разных n имеют только две общие точки : ( 0, 1) и ( 1, 0 ).
Вследствии того, что 0 x 1 и 0 y 1, при n имеют место только те же граничные решения: ( 0, 1) и (1, 0 ), что соответствует решениям ( a = 0 , b = c ) и ( b = 0, a = c ).
2. Доказательство
Постановка задачи. Найти условия, при которых уравнение ( 1 ), а равно и ( 2 ) имеет решение в форме первообразной совокупности. Иными словами: если
an = cn - bn , где n > 0 , ( a, b, c ) – первообразна, то каково значение n ? Напомним, что a – нечетно.
Очевидно: an = ( cn + bn ) ( cn – bn ) = N•M.
Числами N и M обозначены выражения в скобках. Их произведение должно быть равно an и они взаимно просты. Этим условиям одновременно удовлетворяет требование натуральности этих чисел. Заметим, что, если они равны, то an cn .
Если N и M натуральны, то cn = с1 , bn = b1 , где c1 и b1 - взаимно простые натуральные числа.
Тогда имеем:
с1 + b1 = N (3.1)
c1 - b1 = М, (3.2)
откуда
c1 = 1/2• ( Ν + M ), b1 = 1/2• ( N - M ) ( 4 )
и an = c12 - b12 ( 5 )
Очевидно, что a , b1 , c1 - взаимно простые натуральные числа, причем числа b1 и c1 – четное и нечетное, т.к. а – всегда нечетно.
Таким образом, если ( a , b , c ) – первообразная совокупность, то это всегда имеет место при n = 2, причем с = с1 , и b = b1.
Из (4 ) и ( 5 ) следуют следующие заключения.
Любое, кроме 1, нечетное число может быть представлено разностью квадратов натуральных чисел в форме первообразной совокупности. Все последующие заключения соответствуют этому.
Любое нечетное натуральное число a2 может быть представлено разностью квадратов натуральных чисел в форме первообразной совокупности.
Любое натуральное нечетное число аn , n > 2 может быть представлено разностью квадратов натуральных чисел в форме первообразной совокупности.
Любое простое натуральное число а , а также аn, n > 1 может быть представлено разностью квадратов натуральных чисел в форме первообразной совокупности, причем N = а или аn , М = 1 и с1 = b1 + 1.
Любое натуральное нечетное число порождает 2k – 1 представлений разностью квадратов натуральных чисел в форме первообразных совокупностей, где к – число разных простых сомножителей в а независимо от степени n. Это определяется тем, что N и M взаимно просты и не могут меняться местами в ( 3 ), так как всегда N > M.
Все нечетные числа (кроме 1) исчерпывают все возможные решения уравнения ( 5 ) в форме первообразных совокупностей.
Если же N и M - иррациональные взаимно простые числа, то число an не может иметь натурального корня степени n.
Вернемся к решению (5) и условиям его получения:
an = с12 - b12 .
Из ( 4 ) следует:
2с1 = N + M, 2b1 = N - M , ( 6 )
m1 m2
где N = Π ain , М = Π аjn , ( 7 )
i=1 j=1
где аi и аj - взаимно простые сомножители числа а, i j , m1 + m2 = m – полному числу сомножителей в а, m1 и m2 - полные числа простых сомножителей в N и M, соответственно. Иными словами, в N и в M не должно быть одинаковых сомножителей.
Пусть с1 нечетное число, а b1 - четное. Тогда число 2с1 не может иметь натурального корня степени n >1 . Поскольку 2b1 = 2 bn , то
n 2b1 = n 2 • b1/ 2 . При n > 2 правая часть всегда иррациональна, т.е. число 2b1 не имеет натурального корня. Действительно, допустим, что:
n 2b1 = 2k × b2, где к > 0 – натурально и b2 ³ 1 – натуральное нечетное число. Тогда число
b = 2(2k - 2/ n ) × b22 может быть натуральным только при n = 1 или 2, при n >2 число b всегда иррационально, что противоречит условию натуральности первообразной совокупности в ( 2 ).
При нечетном b1 и четном c1 имеет место аналогичная ситуация.
Поскольку число а – любое нечетное, то и числа N и M также могут быть любыми нечетными взаимно простыми числами. Очевидно также, что числа в ( 6 ) взаимно просты. Поскольку числа N и M имеют каждое натуральный корень степени n > 2, а числа 2c1 и 2b1 не могут иметь этого корня, то не существует первообразных решений для n > 2. Верность теоремы Ферма подтверждается этим доказательством, которое, как и предсказывал ее гениальный автор, чудесно просто.
Можно привести и другие способы доказательства, например, такой.
Пусть имеем:
cn - bn = A, где c и b – любые нечетное и четное натуральные числа, и n > 2. При n = 2 безразлично: имеет или не имеет нечетное число А натуральный корень какой-либо степени n, ибо всегда такое число А может быть представлено разностью квадратов четного и нечетного натуральных чисел
Заменим: А = А1 + 2. При n > 2 равно предположить, что нечетные числа А и А1 имеют либо не имеют порознь натуральный корень степени n > 2. Тогда справедливо записать:
cn - (bn + 2) = A1 ( 8)
Из (8) видно, что теперь безразлично: имеет или не имеет число А1 натуральный корень степени n > 2, ибо всегда при этом уравнение (8) не имеет решения в форме совокупности натуральных чисел, т.к. число bn + 2 не имеет натурального корня степени n > 2.
Если число А1 имеет такой корень, то число А такого корня не имеет. Если же предположить, что число А может иметь такой корень, то равно предположить, то же относительно числа А1 и задача возвращается в начало своё. Таким образом, уравнение ( 8 ) выражает справедливость Большой теоремы Ферма.
Приведем для пояснения несколько примеров разложения нечетных чисел в разность квадратов.
а =11, с + b = 11, с - b = 1, с = 0.5 (11 + 1) = 6, b = 0.5 (11 – 1) = 5.
11 = 62 - 52
а = 5• 3 = 15, с = 0.5 (15 + 1) = 8, b= 0.5 ( 15 – 1) = 7, 15 = 82 - 72
с = 0.5 (5 + 3) = 4, b = 0.5 (5 – 3 ) = 1, 15 = 42 - 12
а2 = 112, с = 0.5 ( 112 + 1) = 61, b = 0.5 ( 112 – 1) =60, 112 = 612 - 602
а3 = 153 = 53• 33, с = 0.5(153 + 1) = 1688, b = 1687, 153 = 16882 - 16872
с = 0.5(53 + 33) = 76, b = 0.5(53 – 33) = 49 , 153 = 762 – 492.
3.Некоторые следствия
Следствие 3.1. Рассмотрим сумму:
(2N1 + 1)2 + (2N2 + 1)2 = 4(N12 + N22) + 4(N1 + N2) + 2, где N1 и N2 разные натуральные числа, и, разделив ее на 2, получим нечетное число. Тогда из ( 4 ) следует, что при n =2 число с1 всегда нечетно, а число b1 всегда четно. В свою очередь, число с12, будучи нечетным порождает свои разложения в разности квадратов натуральных чисел:
с12 = с2i2 - b2i2 , i = 1, 2,….2k- 1.
Числа с2i2 , в свою очередь, порождают свои разложения и т.д. Иными словами, любые нечетные числа а2 порождают разветвляющие деревья сумм квадратов натуральных чисел. При этом все члены сумм, кроме исходного,являются четными. Подобная картина имеет место при n 2, но четность и нечетность членов сумм могут чередоваться.
Следствие 3.2. Окружность, определяемая уравнением x2 + y2=1, имеет как рациональные точки, соответствующие первообразным совокупностям решений в ( 2 ), так и иррациональные точки, соответствующие отличным от первообразных, но не кратным решениям ( см. 1.2 ). Следовательно, длина окружности не может быть определена рациональныи числом, что и отражается в величине 2π, при радиусе, большим 1, - 2πR, также не может быть рациональным числом площадь круга – π (πR2 ). Поэтому традиционная проблема квадратуры круга не решена.
Следствие 3.3. Кривые на плоскости, определяемые уравнениями типа:
| x |n + | y |n = 1, n > 2 не имеют рациональных точек, кроме граничных
| x | =1, | y | = 0 и наоборот. Длина этих кривых не может быть рационально определена. Эти кривые можно интерпретировать как окружности порядка n > 2. При n =1 это квадрат, вписанный в окружность порядка n = 2, при n это квадрат, в который вписана эта окружность. Площади этих квадратов равны 2 и 4, соответственно, длины образующих (квадратных окружностей) составляют 4 2 и 8, соответственно. Представление квадрата как предельной окружности бесконечного порядка нетрадиционно решает проблему квадратуры круга.
Уравнение типа : | x |1/n + | y |1/n =1 при n выражает уравнение креста с ветвями, равными 1. Можно интерпретировать уравнения такого вида как уравнения окружностей порядка меньше 1 и тогда крест является окружностью нулевого порядка.
Следствие 3.4. Можно видеть дальнейшую перспективу в развитии теоремы. Действительно, размерность чисел а2, b,2 с2 (соответственно, x2, y2, 12 ) соответствует площади на плоскости, а размерность чисел an, bn, сn при n > 2 – многомерным объемам. Поэтому, искать решения уравнений ( 1 ) при n > 2 на плоскости бессмысленно, их не должно быть. В этой связи естественно предположить, что решения при n > 2 нужно искать в форме уравнений вида:
a1n + a2n +....+ ann = cn ( 9 )
Действительно: 13 + 63 + 83 = 93 ; 33 + 43 + 53 = 63 ;
183 + 193 +213 = 283 ; 14 + 254 + 424 – 434 = 174 ;
64 + 104 + 164 - 144 = 144 ; 34 + 204 +264 – 74 = 284 и т.д.
Интересно заметить, что для n > 4 решений найти не удалось.
Нахождения условий для рациональных решений уравнений вида ( 9 ) может составить новую проблему, родственную проблеме Большой теоремы Ферма.
Интересно отметить также, что представления ( 2 ) при n = 2 и представление (9) для n = 4 перекликаются с выражением для интервала в теории относительности.
|
05.02.2019, 20:26 
(это входит в Правила раздела),