Степень с целым показателем.

[project15]

Пусть определена степень с натуральным показателем, все ее свойства считаем известными. Определим степень с произвольным целым показателем для произвольного основания a $\ne$ 0. Пусть $a^0$ $=$ 1. Определим $a^{-n}$ $=$ $\frac{1}{a^{n}}$, где n - натуральное число. При таком определении сохраняются все привычные свойства степени с натуральным показателем (произведение/частное степеней с одинаковым основанием, степень в степени, степень произведения/частного). Докажем, например, свойство степени в степени ($m$ и $n$ - целые).

Доказать: $(a^{n})^{m}$ $=$ $a^{n}^{m}$
Рассмотрим 9 случаев .

1. $n$ $\in$ $\mathbb{N}$; $m$ $\in$ $\mathbb{N}$
Для натуральных показателей данное свойство выполняется (свойства натуральных степеней считаем доказанными)

2. $n$ $=$ 0; $m$ $\in$ $\mathbb{N}$
$(a^{n})^{m}$ $=$ $1^{m}$ $=$ 1 $=$ $1^{0}$ $=$ $1^{0m}$

3. $n$ $\in$ $\mathbb{N}$; $m$ $=$ 0
4. $n$ $=$ 0; $m$ $=$ 0
5. $n$ $=$ 0; $m$ $<$ 0
6. $n$ $<$ 0; $m$ $=$ 0
7. $n$ $<$ 0; $m$ $\in$ $\mathbb{N}$
8. $n$ $\in$ $\mathbb{N}$; $m$ $<$ 0
9. $n$ $<$ 0; $m$ $<$ 0

Я полагаю доказательства для случаев 3-9 вы при необходимости восстановите . Подводим итоги: имеем 5 основных свойств, 9 вариантов для каждого надо перебрать, итого 45 цепочек доказательств придется произвести для того, чтобы убедится в справедливости свойств степени с целым показателем. Уточняю, что дробных и вещественных степеней, а тем более экспоненты и логарифма пока нету.

Все написанное выше - примерно то, что происходит в голове восьмиклассника, когда он изучает эту тему. Но мы же с вами восьмой класс уже закончили, верно .

Если серьезно, то однажды видел книжку, где автор утверждал, что все свойства степеней с целыми показателями можно доказать чуть ли не в одну строчку "средствами алгебры" (имелось в виду высшей). Мне очень любопытно, о каком таком доказательстве идет речь и существует ли оно вообще. К сожалению, ни автора, ни название книжки привести не могу (давно это было). Интересно, существует ли короткое, принципиально отличающееся от такого вот перебора , доказательство свойств степеней с целым показателем.

(Оффтоп)

Долго думал, где тему создать - в ПРР или в юморе. Решил здесь. Заранее извиняюсь перед админами и за обилие смайликов, просто настроение хорошее

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

project15 в сообщении #1371861 писал(а):

Пусть определена степень с натуральным показателем, все ее свойства считаем известными. Определим степень с произвольным целым показателем для произвольного основания a $\ne$ 0. Пусть $a^0$ $=$ 1. Определим $a^{-n}$ $=$ $\frac{1}{a^{n}}$, где n - натуральное число. При таком определении сохраняются все привычные свойства степени с натуральным показателем (произведение/частное степеней с одинаковым основанием, степень в степени, степень произведения/частного).

Это над любым кольцом, что ли? А как насчёт некоммутативных? В которых $a^n\backslash 1\ne 1/a^n.$

[mihaild]

Да тут кольца не надо, группы достаточно. А в ней достаточно рассмотреть порожденную $a$ подгруппу, которая коммутативна.
(кроме произведения степеней - в некоммутативном случае $(ab)^2$ не обязано быть равно $a^2 b^2$)

Munin в сообщении #1371875 писал(а):

В которых $a^n\backslash 1\ne 1/a^n.$

А что такое $x \backslash y$ здесь?

[Munin]

$x^{-1}y.$ Разумеется, когда существует.

Да, с единицей я сгорбил :-)

-- 26.01.2019 03:17:02 --

Дело-то в том, что кольцо не обязательно группа по умножению :-)