2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич: упражнение на функциональность отношения
Сообщение21.01.2019, 07:06 


20/01/19
51
Всем привет!

Помогите пожалуйста осилить упражнения из упомянутого учебника. Первые проблемы возникли с упражнением на стр.26 (МЦНМО, 2002г). По мере решения других упражнений и возникновения вопросов, буду добавлять их в эту же ветку. Судите пожалуйста строго, но с пониманием того, что я- самоучка.

ЗАДАНИЕ 1.a:

Пусть $\Delta_x$ - диагональ множества $X^2$, а $\Delta_Y$ - диагональ множества $Y^2$. Покажите, что если отношение $R_1 \subset X\times Y$ и $R_2 \subset Y\times X$ таковы, что $\left(R_1 \circ R_2 = \Delta_X\right) \wedge \left(R_2 \circ R_1 = \Delta_Y\right)$, то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств $X$, $Y$

В аналогичной теме, но уже закрытой, был предложен план доказательства необходимых утверждений:

1) Доказать, что областью определения отношения $R_1$ является все множество $X$;
2) Доказать, что областью определения отношения $R_2$ является все множество $Y$;
3) Доказать функциональность $R_1$ и $R_2$;
4) Доказать, что заданные $R_1$ и $R_2$ отображения являются обратными.

Согласно предложенному плану, я постарался расписать доказательство:

1)Пусть $x$ - произвольный элемент из $X$. Пара $\left(x,x\right) \in \left(R_1 \circ R_2\right) = \Delta_X$, тогда $\exists y \left(xR_1y\right)$.
2)Пусть $y_1$ - произвольный элемент из $Y$. Пара $\left(y_1,y_1\right) \in \left(R_2 \circ R_1\right) = \Delta_Y$, тогда $\exists x_1 \left(y_1R_2x_1\right)$.

Здесь хочу остановиться на понимании самого вопроса функциональности отношения, определенного Зоричем. $R$ функционально, если справедливо следующее выражение: $$\left(xRy_1\right) \wedge \left(xRy_2\right) \Rightarrow \left(y_1 = y_2) (*)$$ Поэтому необходимо прийти к инъективности, хотя оно тут и не применимо, отношений $R_1$ и $R_2$.


3)Пусть $xR_1y_1$. Из п.2 имеем следующее: $\exists x_1: y_1R_2x_1$.Тогда из $\left(xR_1y_1\right)\wedge \left(y_1R_2x_1\right)$ $\in \left(R_2 \circ R_1\right) = \Delta_X$ $\Rightarrow$ $x = x_1$.

Пусть$yR_2x$. Из п.1. имеем следующее: $\exists x: xR_1y_2$.Тогда из $\left(y_1R_2x\right)\wedge \left(xR_1y_2\right)$ $\in \left(R_1 \circ R_2\right) = \Delta_Y$ $\Rightarrow$ $y_1 = y_2$.

Из полученного можно сделать вывод, что выражение (*) истинно для обоих отношений, что является доказательством их функциональности.

4) Инъективность этих отображений была доказана в п.3. $\Rightarrow$ отношения задают взаимообратные отображения.

 i  Lia: Название темы исправлено на более информативное.
Добавлять сюда новых задач не нужно. Создайте другую тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич МЦНМО 2002. Решение упражнений
Сообщение21.01.2019, 08:14 


20/01/19
51
Задание 1.b:

Пусть $R\subset X^2$. Покажите, что условие транзитивности отношения $R$ равносильно тому, что $R \circ R \subset R$.

Из определения транзитивности отношения R, определенного на множесте $X$ следует, что справедливо следующее: $$\begin{cases}(x_1Rx_2)\\ (x_2Rx_3)\end{cases} \Rightarrow (x_1Rx_3)$$То есть данное отношение определено между любыми двумя элементами $X$. Из условия $R \circ R \subset R$ следует, что данная композиция есть множество упорядоченных пар $(x_1,x_2)$ и в силу того, что $R$ определено на всем множестве $X$, эта композиция будет содержать всевозможные пары. Из сказанного можно заключить справедливость предположения задачи.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.01.2019, 11:00 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- уберите картинки, пожалуйста, и наберите формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.01.2019, 17:40 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

На всякий случай повторю (см. выше): новых задач тут размещать не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич: упражнение на функциональность отношения
Сообщение24.01.2019, 18:46 


21/07/12
126
Cначала, как по мне, надобно доказывать функциональность отношений $R_{1}$ и $R_{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич: упражнение на функциональность отношения
Сообщение26.01.2019, 18:13 


20/01/19
51
oniksofers в сообщении #1371488 писал(а):
Cначала, как по мне, надобно доказывать функциональность отношений $R_{1}$ и $R_{2}$.


Так я это и сделал? Вопрос в том, верно ли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group