Равномощные множества

[alex55555]

В одном из учебников встретил такое определение равномощности множеств:

Цитата:

Два множества называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого.

Для конечных множеств это означает, что в них одинаковое число элементов, но определение имеет смысл и для бесконечных множеств. Например, отрезки [0, 1] и [0, 2] равномощны, поскольку отображение $x \mapsto 2x$ осуществляет искомое соответствие.

Определение вызывает вопрос - в какую сторону предполагается соответствие? То есть "взаимно однозначное" предполагает "в обе стороны" (что сходится со смыслом определений в других учебниках). Но вот следом идёт указание про отрезки разной длины. Поскольку есть указание на смысл определения для бесконечных множеств, я предполагаю, что "отрезки" в данном случае означают множества отрезков в указанных диапазонах. Но тогда почему выполняется утверждение "осуществляет искомое соответствие"? Отображение "один в один" для двух множеств, одно из которых входит в другое, выполняется лишь для элементов меньшего множества, а вот назад (то есть для двустороннего случая) не все элементы большего множества можно однозначно отобразить на первое множество. С одной стороны, если отрезков бесконечное количество, то разница в допустимых длинах даёт нам разные бесконечности. Если же бесконечности одинаковы, то выделив во втором диапазоне поддиапазон [0,1] мы получим первую бесконечность, но куда же тогда денутся все отрезки длинною больше единицы? Нам их придётся отображать на что-то повторно, то есть не однозначно.

Хотя запись отображения включает стрелку лишь в одну сторону, означает ли это, что отображение одностороннее? Но как тогда быть с "взаимно однозначное"? Это всё-таки в обе стороны? Или в одну?

Видимо я что-то не понял в определении или в дальнейшем пояснении, но что? Если "отрезки" именно отрезки, а не множества, тогда мощность множества из одного отрезка равна единице и указанные множества равномощны (и по количеству элементов и по возможности однозначно отобразить один отрезок на другой). Но тогда при чём здесь бесконечности? Если отображение в одну сторону, то как понимать "взаимно однозначное соответствие"? Зачем слово "взаимно"?

[mihaild]

Тут имеются в виду отрезки как множества. Т.е. скажем отрезок $[0; 1]$ содержит число $0.42$ как элемент, отрезок $[0; 2]$ тоже его содержит; а вот число $1.5$ отрезок $[0; 2]$ содержит, а отрезок $[0; 1]$ - нет.
И нам нужно отображение $f$, которое каждому элементу $x$ отрезка $[0; 1]$ сопоставляет элемент $f(x)$ отрезка $[0; 2]$ так, чтобы каждый элемент отрезка $[0; 2]$ был сопоставлен ровно одному элементу отрезка $[0; 1]$. Из такого отображение легко делается обратное $f^{-1}$, которое каждому элементу $y$ отрезка $[0; 2]$ сопоставляет какой-то элемент $f^{-1}(y)$ отрезка $[0; 1]$ так, что каждый элемент отрезка $[0; 1]$ сопоставлен ровно одному элементу отрезка $[0; 2]$. Подумайте - если у нас есть отображение $f: [0; 1] \to [0; 2]$ с нужным свойством - как из него сделать обратное?

И соответственно проверьте, что отображение $x \to 2x$ обладает нужным свойством (каждой точке отрезка $[0; 2]$ сопоставлена ровно одна точка отрезка $[0; 1]$).

[Someone]

Попробуйте сформулировать определения:
1) что такое отображение;
2) что такое обратное отображение;
3) какое отображение называется взаимно однозначным.
Полезно выяснить, какое отношение имеет взаимная однозначность к обратному отображению.

После разъяснения этих понятий можно будет обсуждать ваши вопросы, если Вы сами не поймёте.

[provincialka]

alex55555 в сообщении #1368103 писал(а):

для двух множеств, одно из которых входит в другое

Не входит. Считайте, что это отрезки двух разных числовых прямых, так вам будет легче.

[Someone]

alex55555 в сообщении #1368103 писал(а):

одно из которых входит в другое

Это в данном вопросе не имеет никакого значения.

Сформулируйте, пожалуйста, определения, о которых я Вас просил.

[alex55555]

mihaild в сообщении #1368107 писал(а):

Подумайте - если у нас есть отображение $f: [0; 1] \to [0; 2]$ с нужным свойством - как из него сделать обратное?

Сами по себе отображения, безусловно возможны. И обратные точно так же возможны. Вообще если нужно связать два абсолютно любых объекта, то это всегда возможно логически (хотя и не всегда физически). И связь будет всегда в обе стороны, если мы перед этим не зададим аксиому - связи строго однонаправленные.

Это всё достаточно понятно, но я подробнее расскажу после ответов в хронологическом порядке.

mihaild в сообщении #1368107 писал(а):

И соответственно проверьте, что отображение $x \to 2x$ обладает нужным свойством (каждой точке отрезка $[0; 2]$ сопоставлена ровно одна точка отрезка $[0; 1]$).

Да, безусловно, мы можем сказать, что все нужные свойства присутствуют. То есть умножаем длину любого отрезка из первого множества на 2 и получаем отрезок из второго множества. Точно так же - делим на два и получаем отрезок из первого множества. Но меня смущает не это, а по сути вопрос о бесконечности.

-- 13.01.2019, 17:21 --

Someone в сообщении #1368108 писал(а):

Попробуйте сформулировать определения:
1) что такое отображение;
2) что такое обратное отображение;
3) какое отображение называется взаимно однозначным.
Полезно выяснить, какое отношение имеет взаимная однозначность к обратному отображению.

После разъяснения этих понятий можно будет обсуждать ваши вопросы, если Вы сами не поймёте.

1) Отображение, это установление соответствия одного набора объектов другому. Далее нужно пояснять что такое объект, но давайте пока сократим для краткости, поскольку проблема не в этом.

2) Обратное отображение это то же самое, что и просто отображение, но с переходом от набора объектов, учитываемого под номером 2 к набору объектов, учитываемому под номером 1. То есть отображение уже содержит обязательность обратного перехода, ведь отображение подразумевает наличие связи, по которой логически обеспечивается переход как от первого ко второму, так и от второго к первому набору объектов.

3) Взаимно однозначным называют отображение, в котором любой один объект одного множества строго соответствует одному объекту другого множества, и наоборот - любому объекту второго множества соответствует строго один объект первого множества.

[Lia]

alex55555
Ответьте на вопросы Someone, пожалуйста.
Учебник откройте только.

[alex55555]

А теперь проблема:

Я думал про неточности с пониманием терминов, но судя по ответам - я правильно понимал термины. А это значит, что проблема в другом. И вот это другое - бесконечность.

Автор указывает на бесконечное множество отрезков. Но что такое бесконечность? Именно определение бесконечности здесь меня заставляет задавать вопросы. Если рассуждать об отрезках, то мне очень сильно хочется потребовать от автора введения аксиом, которые он опустил (учебник разъясняет "наивную" теорию множеств, поэтому там нет цепочки аксиомы-вывод-теоремы).

Что такое разные отрезки? Это отрезки, которые можно отличить. Даже в наивной теории множеств одинаковые объекты считаются одним объектом, то есть множество {2,2} равно множеству {2}, потому что двойка равна двойке. Точно так же с отрезками - они должны быть неравны, что бы входить во множество отрезков. Но что значит "не равны"? Это значит (как я понимаю), что в пределе есть некая стремящаяся к нулю дельта, на которую отличаются длины отрезков. Вообще отрезок длинной 2 не равен отрезку длинной 3, это очевидно, но поскольку мы ищем границу отличия, то очевидно, что её нужно искать именно в пределе около одинаковой длинны отрезков. Поэтому если мы подумаем про дельту, то получим счётное множество, то есть сможем сопоставить каждому отрезку некое число, а отличать отрезки можем именно по наличию или отсутствию разницы в виде дельты плюс что угодно большее или равное нулю. Но если множество счётное, то значит в диапазоне [0,1] содержится ровно столько же отрезков, сколько и в поддиапазоне [0,1] диапазона [0,2]. Тогда имеем остаток диапазона [0,2], равный [1,2]. И вот это дополнительное количество элементов множества мне и не даёт возможность согласиться с самой возможностью взаимно отображать однозначно все отрезки первого множества на один отрезок второго и наоборот. То есть когда мы отобразим все отрезки из первого множества, то у нас останутся не занятые (не связанные) отрезки во втором множестве, просто потому, что их там больше.

Вообще в том же учебнике дальше написано, что Дедекинд предложил в своё время определять бесконечность как нечто, часть которого равномощна целому. Вот именно такую ситуацию и описывают в учебнике (но за несколько страниц до определения Дедекинда). То есть если принять как аксиому, что бесконечность именно такая - её часть равна целому по мощности, даже тогда можно говорить о переходе к отрезкам лишь в том случае, если мы введём ещё одну аксиому - отрезки в таком множестве ведут себя именно как предложил Дедекинд. Но это у меня вызывает стойкое непонимание, ведь действительно же должна быть разница, иначе как отличать отрезки? И если есть разница, то почему она не равна разнице в другом наборе отрезков? Если она не равна и больше для второго набора, то что нам мешает взять меньшую разницу? А если она не равна и меньше для второго набора, то что нам мешает взять меньшую для первого?

В целом логическое противоречие (для меня) заключается в необходимости вводить аксиому Дедекинда для множества отрезков, то есть я не могу представить ситуацию, когда отрезки бы в пределе отличались на разные величины, а отсюда не могу согласиться с применимостью аксиомы Дедекинда к множеству отрезков. Да и вообще, не могу представить пример бесконечности, к которой можно было бы применить аксиому Дедекинда. Физический мир мне этого не позволяет. Хотя если усилием воли заставить себя не считаться с физическими законами - да, тогда всё сойдётся. Но правильно ли это? Напоминает спор между интуиционистами и сторонниками формальных доказательств.

[warlock66613]

alex55555, проблема в том, что вы пишете ерунду вместо чтения учебника, как вам настойчиво рекомендуют.

[alex55555]

Lia в сообщении #1368295 писал(а):

alex55555
Ответьте на вопросы Someone, пожалуйста.
Учебник откройте только.

Попытался ответить. Учебник открыл. Там нет строгих определений, отвечающих на вопросы Someone.

Там есть, например, вот такое:

Цитата:

Сейчас нас в первую очередь интересует следующий принцип:

если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то в них одинаковое число элементов.

(Взаимная однозначность требует, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал ровно один элемент второго и наоборот.)

Курсив авторский, плюс двумя линиями выделено (можно считать определением?).

-- 13.01.2019, 17:56 --

warlock66613 в сообщении #1368307 писал(а):

alex55555, проблема в том, что вы пишете ерунду вместо чтения учебника, как вам настойчиво рекомендуют.

А в чём ерунда?

[warlock66613]

alex55555 в сообщении #1368308 писал(а):

А в чём ерунда?

Во всём - из-за незнания базовых определений. Если в вашем учебнике нет определения отображения - срочно выкиньте его и найдите такой, где есть.

[Lia]

alex55555
Какой учебник у Вас?

[alex55555]

warlock66613 в сообщении #1368309 писал(а):

Если в вашем учебнике нет определения отображения - срочно выкиньте его и найдите такой, где есть.

Есть и учебники с определениями. Но передо мной не стоит задача читать исключительно учебники с определениями.

-- 13.01.2019, 18:22 --

Lia в сообщении #1368311 писал(а):

alex55555
Какой учебник у Вас?

Учебник такой:

Цитата:

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ

Н. К. Верещагин, А. Шень

НАЧАЛА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Издание четвёртое, дополненное


Книга написана по материалам лекций и семинаров, проводившихся авторами для студентов младших курсов мехмата МГУ. В ней рассказывается об основных понятиях «наивной теории множеств» (мощности,
упорядоченные множества, трансфинитная индукция, ординалы). Изложение рассчитано на учеников математических школ, студентов-математиков и всех интересующихся основами теории множеств. Книга включает
около 150 задач различной трудности.

Я к нему, на самом деле, претензий не имею. Там весьма просто и кратко излагаются некоторые важные моменты. Хотя строгости, да, там не хватает. Но в то же время я уточнил для себя, что определение бесконечности, а главное - приложения на его основе, стоит внимательно разглядывать со всех сторон с точки зрения применимости на практике.

[Lia]

alex55555 в сообщении #1368315 писал(а):

Хотя строгости, да, там не хватает.

Не заметила. Все очень аккуратно изложено, в отличие от здесь.
До какой страницы Вы дошли?

[iifat]

alex55555 в сообщении #1368103 писал(а):

предполагаю, что "отрезки" в данном случае означают множества отрезков в указанных диапазонах

Да нет же ж! Отрезки в приведённой вами цитате означают вполне себе общепринятое понятие: отрезок есть множество точек между своими концами. Откуда, из каких потаённых углов своего сознания вы вытащили сии таинственные «множества отрезков» — тайна сия велика, глубока и темна есть.

alex55555 в сообщении #1368308 писал(а):

Курсив авторский, плюс двумя линиями выделено (можно считать определением?)

Для человека, знающего определения — да, можно. К сожалению, это пока не про вас.