Зорич V 6.6 b плоский осциллятор

[Paul Ivanov]

Дан плоский осциллятор: $m\ddot{r}(t)=-kr(t)$, где $m$ - масса точки, $k>0$ - жёсткость пружины, $r(t)$ - радиус-вектор точки в момент времени $t$, $\ddot{r}(t)$ - ускорение в момент времени $t$. Задача состоит в том, чтобы доказать, что орбитой движения точки является эллипс. Я эту задачу решил следующим образом:
1. перешёл в двухмерную систему координат, плоскость которой совпадает с плоскостью движения точки, и в ней нашёл два уравнения зависимости координат точки по каждой из осей от времени.
2. нашёл $a$ и $b$ - расстояния наибольшего и наименьшего отдаления точки от центра (таким образом определил форму эллипса)
3. перевёл два уравнения координат от времени в полярную систему координат (в полярной всё получается относительно компактно и можно продраться сквозь дебри формул), нашёл уравнение эллипса в полярной системе координат, повёрнутого на некий произвольный угол $\alpha$.
4. нашёл угол $\alpha$, такой, что в любой момент времени движения точка оказывается на орбите эллипса заданной формы повёрнутого на этот угол $\alpha$ и доказал, что этот угол действительно обладает такими свойствами.
всё это получилось довольно таки сложно и громоздко. Нельзя ли как-то более компактно решить такую задачу? Быть может нужен качественно иной подход.

[pogulyat_vyshel]

В декартовых координатах все делается. У вас два независимых осциллятора поучится по кажой координате. Основное тригонометрическое тождество вам в помощь, после того как общее решение запиште для каждого осциллятора
Но вообще то там не только эллипс

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1364473 писал(а):

Но вообще то там не только эллипс

А что ещё?

[pogulyat_vyshel]

Вопрос на засыпку: каков физический смысл фокусов эллипса?

[vpb]

Paul Ivanov
А Вы выложите свое решение, может быть, Вам подскажут, в каком конкретно месте его можно улучшить.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1364537 писал(а):

Вопрос на засыпку: каков физический смысл фокусов эллипса?

Не знаю. Что-нибудь, связанное с разностью энергий, которые точка имеет в вершинах эллипса?

[ewert]

pogulyat_vyshel в сообщении #1364537 писал(а):

Вопрос на засыпку: каков физический смысл фокусов эллипса?

Для этой задачи -- никакой. Пояснение: ибо тут полярные координаты не при чём.

Munin в сообщении #1364495 писал(а):

А что ещё?

Видимо, имелось в виду, что не любой эллипс принято называть эллипсом.

Paul Ivanov в сообщении #1364468 писал(а):

1. перешёл в двухмерную систему координат, плоскость которой совпадает с плоскостью движения точки, и в ней нашёл два уравнения зависимости координат точки по каждой из осей от времени.
2. нашёл $a$ и $b$ - расстояния наибольшего и наименьшего отдаления точки от центра (таким образом определил форму эллипса)

Полуоси -- это хорошо, но Вам нужны не столько они, сколько координаты вершин эллипса (они ведь получаются вместе с полуосями и даже, скорее всего, до них). Хватит даже и одной вершины. Поверните соответствующим образом координатные оси на плоскости --так, чтобы, скажем, новая ось иксов проходила через вершину. Подставьте формулы пересчёта координат в параметрическое описание траектории. Колебания по новым иксам и новым игрекам автоматически окажутся сдвинутыми по фазе на $\frac{\pi}2$, а это -- стандартное параметрическое описание эллипса. (кстати, явную проверку правильности сдвига можно и не проводить -- если она не пи-пополам, то вершина откровенно не будет вершиной)

Ну или ещё тупее: подберите $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ так, чтобы выражение $\alpha x^2(t)+\beta x(t)y(t)+\gamma y^2(t)$ оказалось константой (это легко, там ведь лишь несколько синусов и косинусов). Т.е. докажите, что это -- кривая второго порядка. Тогда это обязательно эллипс просто в силу ограниченности траектории.

[Munin]

ewert в сообщении #1365630 писал(а):

Видимо, имелось в виду, что не любой эллипс принято называть эллипсом.

Ну, у нас - любой. Что отрезок, что окружность. Вот других фигур Лиссажу в этой задаче не возникает, кажется.

Хорошо, если разгадка в этом.

[Paul Ivanov]

так, предлагаю два решения: одно неполное (до определённого момента) в декартовой системе координат, другое (полное) в полярной системе координат.
1.
введём двухмерную прямоугольную декартову систему координат $OXOY$, плоскость которой совпадает с плоскостью движения точки, начало координат - с центром осциллятора и $r(0)=r_0=(x_0,y_0)$, $\dot{r}(0)=\dot{r}_0=(\dot{x}_0,\dot{y}_0)$ - вектора начального положения и скорости заданные в этой системе координат.
Тогда, решая дифференциальное уравнение $m\ddot{r}(t)=-kr(t)$ по обеим осям, приходим к тому, что
1.1 $x(t)=x_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+\dot{x}_0\sqrt{\frac{m}{k}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$
1.2 $y(t)=y_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+\dot{y}_0\sqrt{\frac{m}{k}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$
отсюда предполагая, что орбита точки - это всё-таки эллипс найдём его размеры и моменты времени, когда расстояния от точки до центра осциллятора достигают наибольшего и наименьшего отдаления: для этого решим решим уравнение $(x^2(t)+y^2(t))'=0$
$(-\sqrt{\frac{k}{m}}(x^2_0+y^2_0)+\sqrt{\frac{m}{k}}(\dot{x}^2_0+\dot{y}^2_0))\sin(2\sqrt{\frac{k}{m}}t)+2(x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0)\cos(2\sqrt{\frac{k}{m}}t)=0$ $\Rightarrow$

$$\tg(2\sqrt{\frac{k}{m}}t)=\frac{2\sqrt{\frac{m}{k}}(x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0)}{(x^2_0+y^2_0)-\frac{m}{k}(\dot{x}^2_0+\dot{y}^2_0)}=L\Rightarrow$$

$$\sqrt{\frac{k}{m}}t=\frac{\arctg L}{2}+\frac{\pi}{2}n$$

таким образом имеем нужные моменты времени, подставляем их в $x^2(t)+y^2(t)=S$ и получаем, что если ввести переменные
1.3$P=x^2_0+y^2_0+(\dot{x}^2_0+\dot{y}^2_0)\frac{m}{k}$
1.4$Q=x^2_0+y^2_0-(\dot{x}^2_0+\dot{y}^2_0)\frac{m}{k}$,
то $L=\frac{2\sqrt{\frac{m}{k}}(x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0)}{Q}$ и уравнение $x^2(t)+y^2(t)=S$ преобразуется в

$$\frac{P+\frac{(-1)^n}{\sqrt{1+L^2}}(Q+2\sqrt{\frac{m}{k}}(x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0)L)}{2}=\frac{P+(-1)^n\sqrt{(Q^2+4\frac{m}{k}(x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0)^2)}\frac{|Q|}{Q}}{2}=S$$

таким образом если мы считаем, что форма орбиты - это эллипс или окружность или отрезок или точка, то форму каждого из этих геометрических объектов полностью задают два числа, что можно доказать.
1.5 $a^2=\frac{P+\sqrt{(Q^2+4\frac{m}{k}(x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0)^2)}}{2}$
1.6 $b^2=\frac{P-\sqrt{(Q^2+4\frac{m}{k}(x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0)^2)}}{2}$
таким образом если $a^2>b^2>0$, то орбита - эллипс, если $a^2=b^2>0$ - окружность, если $a^2>b^2=0$ - отрезок и, наконец, если $a=b=0$ - точка (последние три объекта рассматривать не будем)
Всюду далее будем считать, что $a>b>0$, попробуем в декартовой системе координат доказать, что орбита - эллипс. Мне пришли в голову только три варианта:
1а) найти координаты точки в момент наибольшего (или наименьшего) отдаления
1б) по этим координатам найти угол $\varphi$ между лучом из центра в данную точку и какой-то из двух осей координат
1в) далее повернуть всю траекторию точки на данный угол в нужном направлении, воспользовавшись формулой ротации
$x'=x\cos\varphi \pm y\sin\varphi$
$y'=y\cos\varphi \mp x\sin\varphi$
1г) проверить, что получившаяся траектория - действительно эллипс (в этом случае знать размеры и форму эллипса в принципе не нужно)
2а) с помощью ввода параметра угла $\varphi$ и формулы ротации составить уравнение (непараметрическое, то есть без времени) эллипса необходимой формы, повёрнутого на данный угол $\varphi$
2б) найти данный угол $\varphi$, сопоставив это уравнение с параметрическим (от времени) описанием траектории.
2в) доказать, что этот угол действительно подходит, подставив координаты от времени вместо переменных в уравнении эллипса из пункта 2а)
3а) то же, что 2а)
3б) перевести систему уравнений 1.1,1.2 в одно уравнение, избавившись от параметра времени
3в) сопоставить это уравнение с уравнением эллипса повёрнутого на угол $\varphi$ и найти угол $\varphi$
3г) проверить, что угол действительно подходит.
Немного о каждом из способов:
первый способ уже на шаге 1.1 доставляет огромные неприятности связанные с тем, что синус и косинус половины арктангенса некой переменной выражаются через эту переменную очень большой формулой, которая к тому же зависит от того в каком диапазоне находится данная переменная. С каждым шагом этот способ доставляет новые неприятности, которые, если не упростить максимально всё на предыдущем шаге оборачиваются на порядок большими проблемами.
второй способ более привлекателен,
однако в декартовой системе координат ротация громоздка и поэтому на шаге 2.3 при подстановке получается очень большая формула, а на шаге 2.2 формула угла также довольно большая.
третий способ в декартовой системе координат также слишком громоздок.
Поэтому я перешёл в полярную систему координат, в которой, например, третий способ гораздо более компактен.
Не привожу данные рассуждения в виде формул, так как они гораздо более габаритные, чем всё, что было перед этим.
Приведу решение в полярной системе координат третьим способом:
2.
$r_0=(\varphi_0,|r_0|)$ (на первом месте угол, на втором модуль вектора)
$\dot{r}_0=(\dot{\varphi}_0,|\dot{r}_0|)$
2.1 $|r(t)|\sin\varphi(t)=|r_0|\sin\varphi_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+|\dot{r}_0|\sin\dot{\varphi}_0\sqrt{\frac{m}{k}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$
2.2 $|r(t)|\cos\varphi(t)=|r_0|\cos\varphi_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+|\dot{r}_0|\cos\dot{\varphi}_0\sqrt{\frac{m}{k}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$
следовательно:

$$2.3 |r(t)|=\sqrt{|r_0|^2\cos^2(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+\frac{m}{k}|\dot{r}_0|^2 \sin^2(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+\sqrt{\frac{m}{k}}|r_0||\dot{r}_0|\sin(2\sqrt{\frac{k}{m}}t)\cos(\varphi_0-\dot{\varphi}_0)}$$

$$2.4 \tg\varphi(t)=\frac{|r_0|\sin\varphi_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+|\dot{r}_0|\sin\dot{\varphi}_0\sqrt{\frac{m}{k}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)}{|r_0|\cos\varphi_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+|\dot{r}_0|\cos\dot{\varphi}_0\sqrt{\frac{m}{k}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)}\Rightarrow$$

$$2.5\tg(\sqrt{\frac{k}{m}}t)=\frac{|r_0|}{|\dot{r}_0|}\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{\cos\varphi_0\tg\varphi(t)-\sin\varphi_0}{\sin\dot{\varphi}_0-\tg\varphi(t)\cos\dot{\varphi}_0}=\frac{|r_0|}{|\dot{r}_0|}\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{\sin(\varphi(t)-\varphi_0)}{\sin(\dot{\varphi}_0-\varphi(t))}=L\Rightarrow$$

$\cos^2(\sqrt{\frac{k}{m}}t)=\frac{1}{1+L^2}$
$\sin^2(\sqrt{\frac{k}{m}}t)=\frac{L^2}{1+L^2}$
$\sin(2\sqrt{\frac{k}{m}}t)=\frac{2L}{1+L^2}$

$$2.6|r(t)|=\sqrt{\frac{|r_0|^2}{1+L^2}+|\dot{r}_0|^2\frac{m}{k}\frac{L^2}{1+L^2}+2|r_0||\dot{r}_0|\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{L}{1+L^2}\cos(\varphi_0-\dot{\varphi}_0)}=$$

$$=\sqrt{|r_0|^2|\dot{r}_0|^2\frac{\sin^2(\varphi(t)-\dot{\varphi}_0)+\sin^2(\varphi(t)-\varphi_0)-2\sin(\varphi(t)-\varphi_0)\sin(\varphi(t)-\dot{\varphi}_0)\cos(\varphi_0-\dot{\varphi}_0)}{|\dot{r}_0|^2\sin^2(\varphi(t)-\dot{\varphi}_0)+|r_0|^2\frac{k}{m}\sin^2(\varphi(t)-\varphi_0)}}=$$

$$=\frac{|r_0||\dot{r}_0|\sqrt{\frac{m}{k}}|\sin(\varphi_0-\dot{\varphi}_0)|}{\sqrt{|r_0|^2\sin^2(\varphi(t)-\varphi_0)+|\dot{r}_0|^2\frac{m}{k}\sin^2(\varphi(t)-\dot{\varphi}_0)}}$$

$P=|r_0|^2+\frac{m}{k}|\dot{r}_0|^2$
$Q=|r_0|^2-\frac{m}{k}|\dot{r}_0|^2$
$x_0\dot{x}_0+y_0\dot{y}_0=|r_0||\dot{r}_0|\cos(\varphi_0-\dot{\varphi}_0)$
уравнение нужного, повёрнутого на угол $\Delta$, эллипса выглядит в полярной системе координат, как

$$r=\frac{|ab|}{\sqrt{\cos^2(\varphi+\Delta)b^2+\sin^2(\varphi+\Delta)a^2}}=\frac{|r_0||\dot{r}_0|\sqrt{\frac{m}{k}}|\sin(\varphi_0-\dot{\varphi}_0)|}{\sqrt{\frac{P}{2}-\frac{\cos(2(\varphi+\Delta))}{2}\sqrt{Q^2+4\frac{m}{k}|r_0|^2|\dot{r}_0|^2\cos^2(\varphi_0-\dot{\varphi}_0)}}}$$

приравниваем это уравнение эллипса к уравнению из 2.6 и, подставляя вместо $\varphi$ и $\varphi(t)$ ноль, получаем, что

$$\cos2\Delta=\frac{|r_0|^2\cos2\varphi_0+|\dot{r}_0|^2\frac{m}{k}\cos2\dot{\varphi}_0}{\sqrt{|r_0|^4+\frac{m^2}{k^2}\dot{r}^4_0+2\frac{m}{k}|r_0|^2|\dot{r}_0|^2\cos(2(\varphi_0-\dot{\varphi}_0))}}$$

отсюда

$$\sin2\Delta=\pm\frac{|r_0|^2\sin2\varphi_0+|\dot{r}_0|^2\frac{m}{k}\sin2\dot{\varphi}_0}{\sqrt{|r_0|^4+\frac{m^2}{k^2}\dot{r}^4_0+2\frac{m}{k}|r_0|^2|\dot{r}_0|^2\cos(2(\varphi_0-\dot{\varphi}_0))}}$$

проверяя подстановкой убеждаемся, что

$$\sin2\Delta=-\frac{|r_0|^2\sin2\varphi_0+|\dot{r}_0|^2\frac{m}{k}\sin2\dot{\varphi}_0}{\sqrt{|r_0|^4+\frac{m^2}{k^2}\dot{r}^4_0+2\frac{m}{k}|r_0|^2|\dot{r}_0|^2\cos(2(\varphi_0-\dot{\varphi}_0))}}$$

угол $\Delta$, заданный такими синусом и косинусом действительно существует и удовлетворяет нужным свойствам. Отсюда орбита - действительно эллипс. Если решать в декартовой прямоугольной - всё куда хуже.
И всё же, неужели нельзя сделать как-нибудь проще, без таких больших формул?

[pogulyat_vyshel]

Paul Ivanov в сообщении #1365723 писал(а):

Если решать в декартовой прямоугольной - всё куда хуже.

Ну это если не думая делать, без понимания, тогда конечно хуже. Но поскольку это был не вопрос, а утверждение, то оставайтесь с вашей уверенностью, что хуже. Не буду вас разубеждать

[Paul Ivanov]

Я не говорил, что я уверен, я всего лишь делал выводы на основе того, что у меня получалось, а что получалось, действительно судить не мне. Если я чем-то вас задел, прошу объяснить, чем именно и указать на мою ошибку, а не отказывать мне в возможности понять, что неправильно. Форум для того и существует, чтобы помогать разобраться. Тем более, что главный вопрос был вовсе не в том, в какой системе координат лучше решать, а в том, не существует ли более компактного решения, чем моё.

[Munin]

pogulyat_vyshel
Кстати, раз уж вы здесь, не могли бы вы написать конкретную критику к отдельному параграфу как раз про эту задачу
Ландау, Лифшиц. Механика. (издания, скажем, от 1988 до 2004 - если пользуетесь другим, напишите конкретнее; издание 1940 года не считается)
§ 23. Колебания систем со многими степенями свободы.

Было бы интересно.

[pogulyat_vyshel]

Paul Ivanov

у вас есть две формулы

$$x=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t),\quad y=c\cos(\omega t)+f\sin(\omega t).$$

Используя обозначение $\Delta=af-bc$ решите эту систему относительно $\cos(\omega t)$ и $\sin(\omega t)$
и подставьте полученное решение в основное тригонометрическое тождество. Получите уравнение вида "(квадратичная форма от $x,y$)=$\Delta^2$". То, что это эллипс доказывается элементарно с помощью неравенства Коши.
Конечно в предположении, что $\Delta\ne 0$ иначе это отрезок.

[ewert]

Много букафф, ниасилил (если говорить на не так давно ещё модном олбанском).

Правда, и я тоже слишком много букафф тогда написал. А вот если по существу; если, как в условии -- требуется доказать лишь эллипсность траектории, и не требуется искать той траектории параметры.

Тогда всё довольно просто. Вы нашли иксы и игреки от времени как некоторые сдвинутые косинусоиды. Ну и правильно; вероятно, без их нахождения было бы нельзя (т.е. вышло бы извращение). Тут что важно: у этих иксов и игреков частота одинакова, хотя фазы и разные.

И Вы нашли максимальное расстояние от той траектории до центра. И вот тут уже нашли совершенно напрасно. Совершенно не важно, чему равно это расстояние; и не важно, в какой именно точке оно достигается. Важно лишь, что хоть где-то достигается -- а достигается просто потому, что эта сумма зависит от времени периодически и при этом непрерывно (косинусы как-никак).

Теперь принципиальный момент, и обязательный. Обязательно нужно развернуть оси координат так, чтобы новая ось иксов смотрела в направлении вершины. (Не важно, чему равна эта вершина -- важно лишь, что она достигается и, соотв, такой разворот возможен).

Поворот -- это линейное преобразование, а линейные комбинации сдвинутых косинусоид -- это тоже какие-то сдвинутые косинусоиды. Сдвинем заодно отсчёт времени так, что максимальное значение иксов отвечает максимально удалённой от центра точки в начальный момент времени. Тогда в повёрнутых координатах имеем $\begin{cases}\widetilde x(t)=a\cos(\omega t),\\ \widetilde y(t)=b\cos(\omega t+\varphi).\end{cases}$

Теперь всё просто. Если приравнять нулю производную от $\widetilde x^2(t)+\widetilde y^2(t)$, то мгновенно окажется, что нулю она может равняться только при $\varphi=\pm\frac{\pi}2$. Т.е. что $\begin{cases}\widetilde x(t)=a\cos(\omega t),\\ \widetilde y(t)=\pm b\sin(\omega t).\end{cases}$ А это и есть стандартное параметрическое описание эллипса. В повёрнутых координатах, естественно.

Вот если нужны параметры того поворота -- конечно, все эти преобразования нужны явно. Но без необходимости -- нет, не нужны.

[Paul Ivanov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1365749 писал(а):

То, что это эллипс доказывается элементарно с помощью неравенства Коши.

Если я вас правильно понимаю, вы о неравенстве Коши-Буняковского. К сожалению, для меня это не элементарно, пожалуйста, объясните.