В чем особенность нити?

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1365365 писал(а):

получить замечания за нарушение правил.

Готовые решения нельзя выкладывать только в разделе "Помогите решить

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel в сообщении #1365373 писал(а):

Готовые решения нельзя выкладывать только в разделе "Помогите решить

Понял. Ждем'c.

[pogulyat_vyshel]

У меня получилось следующее. Введем обозначения $A=J+mr^2,$ где $J=Mr^2/2$ -- момент инерции диска относительно оси вращения.

1) Если $A>mb^2$ то масса $m$ приходит к границе диска за конечное время и ударяется о диск
2) Если $A=mb^2$ то масса $m$ приходит к границе диска за конечное время и происходит "мягкий удар" (ускорение рвется, скорость -- нет. А может и ускорение не рвется при каких-то значениях параметров -- тут надо аккуратно)
3) Если $A<mb^2$ то масса $m$ некоторое время наматывается на диск затем, не достигая диска начинает разматываться и уходит на бесконечность. При этом, при $t\to\infty$ длина размотанной части нити ведет себя как линейная функция времени, а угловая скорость диска стремится к $v\sqrt{m/A}$

[pogulyat_vyshel]

Введем подвижную систему координат $Oxyz$ так, что ось $z$ смотрит на нас, а ось $y$ проходит через точку отрыва нити от диска. За обобщенные координаты примем угол поворота диска (отсчитываемый против часовой стрелки, относительно неподвижного наблюдателя) $\varphi$ и $x$ -- иксовую координату точки $m$.
Скорость точки $m$ выражается формулой

$$\boldsymbol v_m=-r\dot \varphi\boldsymbol e_x+x(\dot\varphi+\dot x/r)\boldsymbol e_y.$$

Кинетическая энергия системы (она же лагранжиан)

$$T=\frac{1}{2}J\dot\varphi^2+\frac{1}{2}m|\boldsymbol v_m|^2=\frac{1}{2}A\dot\varphi^2+\frac{1}{2}mx^2(\dot\varphi+\dot x/r)^2.$$

Циклический интеграл

$$p=\frac{\partial T}{\partial\dot\varphi}=A\dot\varphi+mx^2(\dot\varphi+\dot x/r).$$

При $t=0$ имеем $-v=b\dot x(0)/r, \quad p=-mbv.$

Функция Рауса (после выбрасывания полной производной по времени)

$$R(x,\dot x)=\frac{1}{2}\frac{Amx^2}{(A+mx^2)r^2}\dot x^2-W_p(x),\quad W_p(x)=\frac{1}{2}\frac{p^2}{A+mx^2}.$$

Функция Рауса это вот что такое. Функция $x(t)$ удовлетворяет следующему уравнению Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot x}-\frac{\partial R}{\partial x}=0.$$

Т.е. c помощью циклического интеграла задача редуцирована к системе с одной степенью свободы и приведеным потенциалом $W_p$.
В частности, в редуцированной системе имеется интеграл энергии

$$\frac{1}{2}\frac{Amx^2}{(A+mx^2)r^2}\dot x^2+W_p(x)=h,$$

с помощью которого можно нарисовать фазовый портрет на плоскости $x,\dot x$.

При $x\to 0+$ у функции Рауса имеется сингулярность, которая снимается заменой переменной $x=\sqrt y$.
Дальнейшее совершенно стандартно. Написанное впрочем тоже.

-- 03.01.2019, 12:44 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1365378 писал(а):

Понял. Ждем'c.

чего, если не секрет?:)

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel в сообщении #1365614 писал(а):

чего, если не секрет?:)

Нет.
Не секрет.
Решения.
Уже не жду.
Дождался.

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel
Вы не могли бы для во всех отношениях новичка подробнее объяснить связь (Ваших) подвижной и неподвижной систем координат.
И ещё одна просьба: на рисунке показать текущее положение массы $m$ c указанием обобщенных координат и направления вектора скорости.

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1365706 писал(а):

связь подвижной и неподвижной систем координат.

Текущее положение точки $m$ задается радиус-вектором $\boldsymbol {Om}=x\boldsymbol e_x+r\boldsymbol e_y$.
Угловая скорость диска относительно неподвижного наблюдателя: $\boldsymbol \omega=\dot\varphi\boldsymbol e_z$;
Угловая скорость диска относительно системы $Oxyz$: $\boldsymbol\omega_r=-\frac{\dot x}{r}\boldsymbol e_z$ -- с точки зрения наблюдателя, сидящего в системе $Oxyz$ свободный конец нити все время параллелен оси $Ox$ и накручивается на диск, когда диск поворачивается (опять же относительно наблюдателя из $Oxyz$) против часовой стрелки;
Угловая скорость системы $Oxyz$ относительно неподвижного наблюдателя: $\boldsymbol\Omega=\Omega\boldsymbol e_z$ -- эта угловая скорость находится из теоремы о сложении угловых скоростей: $\boldsymbol \omega=\boldsymbol\Omega+\boldsymbol\omega_r:$

$$\dot\varphi=\Omega-\dot x/r.$$

Igrickiy(senior) в сообщении #1365706 писал(а):

на рисунке показать текущее положение массы $m$ c указанием обобщенных координат и направления вектора скорости

рисовать давайте я не буду, а формулы такие:

По теореме о сложении скоростей, скорость точки $m$ относительно неподвижного наблюдателя вычисляется по формуле:

$$\boldsymbol v_m=\boldsymbol v_e+\boldsymbol v_r,$$

где
$\boldsymbol v_e=[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {Om}]$ -- переносная скорость точки $m$ , а
$\boldsymbol v_r=\dot x\boldsymbol e_x$ -- относительная скорость точки $m$.


Тут осталась интересная задача: а какова асимптотика угла поворота свободного конца нити при $t\to\infty$?