2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: В чем особенность нити?
Сообщение02.01.2019, 11:14 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Igrickiy(senior) в сообщении #1365365 писал(а):
получить замечания за нарушение правил.


Готовые решения нельзя выкладывать только в разделе "Помогите решить

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем особенность нити?
Сообщение02.01.2019, 12:23 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
pogulyat_vyshel в сообщении #1365373 писал(а):
Готовые решения нельзя выкладывать только в разделе "Помогите решить

Понял. Ждем'c.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем особенность нити?
Сообщение02.01.2019, 13:20 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
У меня получилось следующее. Введем обозначения $A=J+mr^2,$ где $J=Mr^2/2$ -- момент инерции диска относительно оси вращения.

1) Если $A>mb^2$ то масса $m$ приходит к границе диска за конечное время и ударяется о диск
2) Если $A=mb^2$ то масса $m$ приходит к границе диска за конечное время и происходит "мягкий удар" (ускорение рвется, скорость -- нет. А может и ускорение не рвется при каких-то значениях параметров -- тут надо аккуратно)
3) Если $A<mb^2$ то масса $m$ некоторое время наматывается на диск затем, не достигая диска начинает разматываться и уходит на бесконечность. При этом, при $t\to\infty$ длина размотанной части нити ведет себя как линейная функция времени, а угловая скорость диска стремится к $v\sqrt{m/A}$

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем особенность нити?
Сообщение03.01.2019, 11:43 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Изображение

Введем подвижную систему координат $Oxyz$ так, что ось $z$ смотрит на нас, а ось $y$ проходит через точку отрыва нити от диска. За обобщенные координаты примем угол поворота диска (отсчитываемый против часовой стрелки, относительно неподвижного наблюдателя) $\varphi$ и $x$ -- иксовую координату точки $m$.
Скорость точки $m$ выражается формулой
$$\boldsymbol v_m=-r\dot \varphi\boldsymbol e_x+x(\dot\varphi+\dot x/r)\boldsymbol e_y.$$
Кинетическая энергия системы (она же лагранжиан)
$$T=\frac{1}{2}J\dot\varphi^2+\frac{1}{2}m|\boldsymbol v_m|^2=\frac{1}{2}A\dot\varphi^2+\frac{1}{2}mx^2(\dot\varphi+\dot x/r)^2.$$
Циклический интеграл
$$p=\frac{\partial T}{\partial\dot\varphi}=A\dot\varphi+mx^2(\dot\varphi+\dot x/r).$$
При $t=0$ имеем $-v=b\dot x(0)/r, \quad p=-mbv.$

Функция Рауса (после выбрасывания полной производной по времени)
$$R(x,\dot x)=\frac{1}{2}\frac{Amx^2}{(A+mx^2)r^2}\dot x^2-W_p(x),\quad W_p(x)=\frac{1}{2}\frac{p^2}{A+mx^2}.$$
Функция Рауса это вот что такое. Функция $x(t)$ удовлетворяет следующему уравнению Лагранжа:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot x}-\frac{\partial R}{\partial  x}=0.$$
Т.е. c помощью циклического интеграла задача редуцирована к системе с одной степенью свободы и приведеным потенциалом $W_p$.
В частности, в редуцированной системе имеется интеграл энергии
$$\frac{1}{2}\frac{Amx^2}{(A+mx^2)r^2}\dot x^2+W_p(x)=h,$$ с помощью которого можно нарисовать фазовый портрет на плоскости $x,\dot x$.

При $x\to 0+$ у функции Рауса имеется сингулярность, которая снимается заменой переменной $x=\sqrt y$.
Дальнейшее совершенно стандартно. Написанное впрочем тоже.

-- 03.01.2019, 12:44 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1365378 писал(а):
Понял. Ждем'c.

чего, если не секрет?:)

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем особенность нити?
Сообщение03.01.2019, 17:21 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
pogulyat_vyshel в сообщении #1365614 писал(а):
чего, если не секрет?:)

Нет.
Не секрет.
Решения.
Уже не жду.
Дождался.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем особенность нити?
Сообщение03.01.2019, 18:22 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
pogulyat_vyshel
Вы не могли бы для во всех отношениях новичка подробнее объяснить связь (Ваших) подвижной и неподвижной систем координат.
И ещё одна просьба: на рисунке показать текущее положение массы $m$ c указанием обобщенных координат и направления вектора скорости.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем особенность нити?
Сообщение03.01.2019, 18:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Igrickiy(senior) в сообщении #1365706 писал(а):
связь подвижной и неподвижной систем координат.


Текущее положение точки $m$ задается радиус-вектором $\boldsymbol {Om}=x\boldsymbol e_x+r\boldsymbol e_y$.
Угловая скорость диска относительно неподвижного наблюдателя: $\boldsymbol \omega=\dot\varphi\boldsymbol e_z$;
Угловая скорость диска относительно системы $Oxyz$: $\boldsymbol\omega_r=-\frac{\dot x}{r}\boldsymbol e_z$ -- с точки зрения наблюдателя, сидящего в системе $Oxyz$ свободный конец нити все время параллелен оси $Ox$ и накручивается на диск, когда диск поворачивается (опять же относительно наблюдателя из $Oxyz$) против часовой стрелки;
Угловая скорость системы $Oxyz$ относительно неподвижного наблюдателя: $\boldsymbol\Omega=\Omega\boldsymbol e_z$ -- эта угловая скорость находится из теоремы о сложении угловых скоростей: $\boldsymbol \omega=\boldsymbol\Omega+\boldsymbol\omega_r:$
$$\dot\varphi=\Omega-\dot x/r.$$

Igrickiy(senior) в сообщении #1365706 писал(а):
на рисунке показать текущее положение массы $m$ c указанием обобщенных координат и направления вектора скорости

рисовать давайте я не буду, а формулы такие:

По теореме о сложении скоростей, скорость точки $m$ относительно неподвижного наблюдателя вычисляется по формуле:
$$\boldsymbol v_m=\boldsymbol v_e+\boldsymbol v_r,$$ где
$\boldsymbol v_e=[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {Om}]$ -- переносная скорость точки $m$ , а
$\boldsymbol v_r=\dot x\boldsymbol e_x$ -- относительная скорость точки $m$.


Тут осталась интересная задача: а какова асимптотика угла поворота свободного конца нити при $t\to\infty$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group