Что такое линия?

[ewert]

Slav-27 в сообщении #1363344 писал(а):

Например, можно считать линией траекторию точки при непрерывном движении по плоскости в течение единицы времени (более формально, образ отрезка при непрерывном отображении в плоскость). Это определение слишком общее: линией окажется не только буква Т, но и, к примеру, квадрат.

Тем не менее: это -- наиболее стандартное понимание "линии", но с одним существенным уточнением. Под жордановой кривой стандартно понимается ровно это, но при отсутствии самопересечений. Формально: если это образ отрезка $[0;1]$, то равенство $\vec r(t_1)=\vec r(t_2)$ допускается лишь при $t_1=t_2$ -- или, в крайнем случае, при $t_1=0,\ t_2=1$, если это контур.

Тогда -- никаких Пеано, и все счастливы.

[BVR]

А чем плохо определение линии в два этапа? Сначала вводим понятие элементарной линии, как гомеоморфный образ интервала (полуинтервала, отрезка), а потом понятие линии - конечное или счетное объединение элементарных линий.