Что такое линия?

[xagiwo]

Речь идёт о евклидовой геометрии на плоскости. Например, считается ли фигура, составленная из двух перпендикулярных отрезков, конец одного из которых находится в середине другого(буква Т) линией?
upd:
На самом деле достаточно ответить про пример. И ещё, является ли петля(с самопересечениями) линией? Петля в обыденном понимании(вдруг в геометрии это имеет иной смысл)

[Igrickiy(senior)]

Считается.

[Munin]

На практике, в школьном понимании:
Т - не считается линией.
Восьмёрка - может считаться, но лучше не рисковать.

В серьёзной математике:
Вообще не бывает понятия "линия" без уточнений.
1-мерными многообразиями не являются ни Т, ни восьмёрка: есть точки, в которых "линии ветвятся". Бывает 1-мерное алгебраическое многообразие в виде восьмёрки - лемниската Бернулли.
Восьмёрку можно нарисовать непрерывно карандашом по бумаге. Т - нельзя, если не проходить по одним и тем же точкам дважды.

[Slav-27]

Единственного общепринятого определения линии нету. Все определения, которые люди придумали, оказываются слишком ограничительными или слишком общими (часто и то и другое одновременно).

Например, можно считать линией траекторию точки при непрерывном движении по плоскости в течение единицы времени (более формально, образ отрезка при непрерывном отображении в плоскость). Это определение слишком общее: линией окажется не только буква Т, но и, к примеру, квадрат.

Можно считать линией вложенное 1-мерное непрерывное подмногообразие плоскости. При таком определении линия будет похожа на линию в том смысле, что в малой окрестности каждой своей точки она будет выглядеть как маленький интервал. Тогда будут запрещены самопересечения (буква Т и восьмёрка линиями не будут); но линией будет, например, график функции $f(x)=\sin\frac 1x$.

Можно считать линией образ погружения гладкого 1-мерного многообразия в плоскость; в таком случае линией будет и восьмёрка, и буква Т (хотя здесь многообразие придётся брать несвязное), и график функции $\sin\frac 1x$. Кажется, такое определение лучше всего соответствует моему интуитивному представлению о линии. Но здесь (в отличие от предыдущего определения!) линиям запрещено иметь слишком много изломов; например, график функции Вейерштрасса не будет линией, потому что она непрерывна, но не гладка ни в одной точке.

Можно считать линией 1-мерное подмножество плоскости. Но что такое размерность? К сожалению, и тут нет единственного общепринятого определения. Есть много разных определений размерности, приписывающих некоторую размерность любому подмножеству плоскости; однако для всех интересных определений оказывается, что 1-мерные подмножества бывают устроены очень паталогично.

Интересна хаусдорфова размерность; она определена для любого подмножества плоскости (причём она может быть дробной и даже иррациональной). Хаусдорфова размерность графика функции Вейерштрасса, кажется, немного больше 1 (точное значение пока неизвестно, есть лишь правдоподобное предположение; кроме того, она, видимо, разная для разных вариантов функции Вейерштрасса). На подмножества плоскости с разными хаусдорфовыми размерностями можно посмотреть в английской Википедии.

[Someone]

Slav-27 в сообщении #1363344 писал(а):

Интересна хаусдорфова размерность

Тут есть одна проблема: хаусдорфова размерность является характеристикой не подмножества самого по себе, а вложения этого подмножества в объемлющее пространство. И в этом смысле она не есть размерность этого подмножества.

Slav-27 в сообщении #1363344 писал(а):

Но что такое размерность? К сожалению, и тут нет единственного общепринятого определения. Есть много разных определений размерности, приписывающих некоторую размерность любому подмножеству плоскости;

В топологии есть некоторое количество неэквивалентных определений размерности (основные: $\dim$, $\operatorname{ind}$, $\operatorname{Ind}$). Как правило, эти определения для подмножеств евклидовых пространств эквивалентны, а различия между ними появляются для более сложных топологических пространств, нежели подмножества евклидовых пространств.

[B@R5uk]

Someone в сообщении #1363474 писал(а):

хаусдорфова размерность является характеристикой не подмножества самого по себе, а вложения этого подмножества в объемлющее пространство.

А можно научно-популяно и чуть более развёрнуто о том, что имеется в виду в этом утверждении?

[Someone]

Имеется в виду, что подмножества, устроенные топологически абсолютно одинаково (гомеоморфные), могут иметь различную хаусдорфову размерность.

[B@R5uk]

Спасибо! Теперь понятно. С другой стороны, хаусдорфова размерность — это метрическая, а не топологическая характеристика объекта, так что трудно ожидать её неизменность при гомеоморфизме.

[demolishka]

B@R5uk в сообщении #1363526 писал(а):

С другой стороны, хаусдорфова размерность — это метрическая, а не топологическая характеристика объекта, так что трудно ожидать её неизменность при гомеоморфизме

Тем не менее, хаусдорфова размерность не может быть меньше топологической размерности. Так что топология все же накладывает некоторые ограничения. Более того: заменой метрики можно сделать хаусдорфову размерность равной топологической (для компактных метрических пространств конечной топологической размерности --- точно).

[Igrickiy(senior)]

Munin в сообщении #1363332 писал(а):

На практике, в школьном понимании:
Т - не считается линией.
Восьмёрка - может считаться, но лучше не рисковать.

Почему не считается и чем рискуем?
И ещё вопрос.
Какие свойства не наследует объединение и/или пересечение двух множеств одной природы?

[Someone]

Igrickiy(senior) в сообщении #1363904 писал(а):

Почему не считается и чем рискуем?

Видимо, считать "Т" линией или не считать, зависит от принятого определения линии.

[SomePupil]

Как уже, надеюсь, стало ясно, все зависит от определения. Вот еще возможное определение: кривой на плоскости назовем отображение $f\colon\mathbb R \to \mathbb R^2, f(t) = (x(t), y(t)),$ где $x(t), y(t) -$ кусочно-гладкие функции. "Линиями" на плоскости назовем образы кривых. В этом смысле приведенные ТС примеры являются линиями: как Т-образную линию, так и петлю можно параметризовать естественным образом.

[xagiwo]

SomePupil
не будет это определение иметь те же недостатки, что и первое, приведённое Slav-27?

[SomePupil]

Не будет, потому что (кусочная) гладкость $-$ более ограничительное требование, функции (кривые) будут вести себя хорошо. С другой стороны, приняв такое определение, мы потеряем в общности.

P. S. Не уверен, но, похоже, мое определение дублирует определение Slav-27

Slav-27 в сообщении #1363344 писал(а):

Можно считать линией образ погружения гладкого 1-мерного многообразия в плоскость;

[Munin]

Не дублирует, вы отказались от непрерывности.

-- 27.12.2018 18:49:03 --

Есть разница между "кусочно-гладкий" и "непрерывный кусочно-гладкий".