Интегральное уравнение

[StaticZero]

Дано интегральное уравнение:

$$ u(x) = G(x) + \int \limits_b^x K(t) u(t) \ \mathrm dt, $$

где $b < 0 < \theta_0 < c$,

$$ K(t) = \begin{cases} 0, \quad &t \in [b, 0] \cup [\theta_0, c] \\ \mu, \quad &t\in[0, \theta_0] \end{cases} $$

Хочу решать по методу последовательных приближений. Задача пришла из физики, оправданное нулевое приближение $u_0(x) = G(x)$. Получаю:

$$ \begin{align*} u_1(x) = G(x) + \int \limits_b^x K(t) G(t) \ \mathrm dt = G(x) + \int \limits_b^x K(t) u_0(t) \ \mathrm dt = u_0(x) + R_0(x), \\ u_2(x) = G(x) + \int \limits_b^x K(t) (u_0(t) + R_0(t)) \ \mathrm dt = u_1(x) + \int \limits_b^x K(t) R_0(t) \ \mathrm dt = u_1(x) + R_1(t), \\ \ldots \\ u_{n+1} = u_n + R_n. \end{align*} $$

$$ u = \lim \limits_{n \to \infty} u_{n+1} = u_0 + \lim \limits_{n \to \infty} (u_{n+1} -u_0) = u_0 + \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=0}^n (u_{k+1}-u_k) = u_0 + \sum \limits_{k=0}^\infty R_k. $$

Дело стало за тем, чтобы вычислить $R_k$:

$$ R_{k+1} = \int \limits_b^x R_k(t) K(t) \ \mathrm dt. $$

Если $b < x < 0$, то $R_{k} = 0$ для всех $k$ и решение будет $u = G(x)$.
Если $0 < x < \theta_0$, то тогда

$$ R_{k+1} = \mu \int \limits_0^x R_k \ \mathrm dt. $$

Но меня интересует последний случай, когда $\theta_0 < x < c$. Тогда получаем

$$ R_{k+1} = \mu \int \limits_0^{\theta_0} R_k \ \mathrm dt, $$

откуда следует, что $R_k$ - константы: $R_{k+1} = \mu {\theta_0} R_k = \ldots = (\mu \theta_0)^{k+1} R_0$, получаю

$$ u(x) = G(x) + \frac{R_0}{1 - \mu \theta_0}, \quad \mu \theta_0 < 1. $$

При нарушении условия справа ряд расходится, но физически решение должно существовать. Значит, что-то интересное должно происходить ещё при $0 < x < \theta_0$, но как тут исследовать?

[amon]

StaticZero в сообщении #1357607 писал(а):

Хочу решать по методу последовательных приближений.

Оно конечно - любой каприз за ваши деньги, но это уравнение простым дифференцированием сводится к элементарному дифференциальному. Если дифференцировать религия запрещает, то можно проинтегрировать ;)

[StaticZero]

Если продифференцировать, то будет уравнение $u_x - Ku = G'(x)$, его решение

$$ u =\exp \left( \int \limits_b^x K(t) \ \mathrm dt \right) \int \limits_{x_0}^x G'(y) \exp \left(- \int \limits_b^y K(t) \ \mathrm dt \right) \mathrm dy $$

произвольная постоянная $x_0$. При $x = b$ граничное условие $u(b) = G(b) > 0$. Подставляю его. Получаю

$$ G(b) = -\int \limits_{b}^{x_0} G'(y) \exp \left(- \int \limits_b^y K(t) \ \mathrm dt \right) \mathrm dy. $$

Про функцию $G$ известно лишь, что она монотонно возрастает.

• Если $x_0 < 0$, то будет $G(b) = - \int \limits_b^{x_0} G'(y) \ \mathrm dy = -G(x_0) + G(b)$, откуда $G(x_0) = 0$. В силу монотонного возрастания такое может быть только если $x_0 < b$, но там $G$ не определена.
• Если $x_0 > 0$, то можно разбить
  
  $$ G(b) = G(b) - G(0) - \int \limits_0^{x_0} G'(y) \exp \left(- \int \limits_0^y K(t) \ \mathrm dt \right) \mathrm dy. $$
  
  Отсюда
  
  $$ G(0)+ \int \limits_0^{x_0} G'(y) \exp \left(- \int \limits_0^y K(t) \ \mathrm dt \right) \mathrm dy = 0, $$
  
  что невозможно.

И тут моё граничное условие обращается в тыкву.

-- 30.11.2018 в 12:17 --

amon в сообщении #1357617 писал(а):

Оно конечно - любой каприз за ваши деньги, но это уравнение простым дифференцированием сводится к элементарному дифференциальному

Ну да. Но в случае с интегральным уравнением граничное условие автоматически удовлетворяется. А в случае с диффуром что-то идёт не так.

[mihiv]

Можно попробовать решать ДУ на каждом из трех отрезков по отдельности, а в точках $0, \theta _0$ записать условие непрерывности функции $u(x)$.

[StaticZero]

Забыл общее решение дописать. Всё получается с решением

$$ u = G(b) \exp \left( \int \limits_b^x K \ \mathrm dy \right) + \exp \left( \int \limits_b^x K \ \mathrm dy \right) \int \limits_b^x G'(t) \exp \left( -\int \limits_b^t K \ \mathrm dy \right) \ \mathrm dt. $$

Переходя сразу в интересующую нас область $x > \theta_0$ получаем

$$ u = G(b) e^{\mu \theta_0} + e^{\mu \theta_0} \left \{ G(0) - G(b) + \int \limits_0^{\theta_0} G' e^{-\mu t} \ \mathrm dt + e^{-\mu \theta_0} (G(x) - G(\theta_0))\right \} $$

$$ u(c) = G(0) e^{\mu \theta_0}+ \int \limits_0^{\theta_0} G'(t) e^{\mu (\theta_0 - t)} \ \mathrm dt + G(c) - G(\theta_0) $$

------ (Возможно, это станет предметом треда в ПРР(Ф)) -----
Ещё известно, что $u(c) = F_2$. Загружаю $G(x) = F_1 + m(x) a$, $G(0) = F_1 + M_1 a$, $G(c)-G(\theta_0) = M_2 a$. Окончательно

$$ F_2 - F_1 e^{\mu \theta_0} = a \left \{ M_1 e^{\mu \theta_0} + \int \limits_0^{\theta_0} m'(t) e^{\mu (\theta_0 - t)} \ \mathrm dt + M_2 \right \} $$

$$ \frac{F_2 - F_1 e^{\mu \theta_0}}{M_1 e^{\mu \theta_0} + \int \limits_0^{\theta_0} m'(t) e^{\mu (\theta_0 - t)} \ \mathrm dt + M_2} = a. $$

-- 30.11.2018 в 21:22 --

Только у меня вопрос всё равно стоит - я получил здесь решение, но оно, видимо, неправильное.

StaticZero в сообщении #1357607 писал(а):

$$ u(x) = G(x) + \frac{R_0}{1 - \mu \theta_0}, \quad \mu \theta_0 < 1. $$

А почему оно получилось не тем? Я вроде процедуру применял вполне разрешённую...

[amon]

StaticZero в сообщении #1357680 писал(а):

А в случае с диффуром что-то идёт не так.

Мне бы Ваши заботы. У меня сейчас более затейливое интегральное уравнение есть. Смотрите: при $x<0$ Ваше уравнение превратится в
$u(x)=G$
Если $0<x<\theta _0,$ то
$u'-\mu u=G'$
это, я надеюсь, Вы с легкостью решите. Ответ, сшитый с первым решением будет $u=G(x)-\mu e^{\mu t}\int\limits_{0}^{x}G(t)e^{-\mu t}dt$ (если я, как водится, не соврал, решая в уме, которого давно уже нет)
Если $x>\theta _0,$ то
$u=G+\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}u$
Интегрируем, получаем ответ. Решение, скорее всего, будет разрывным, поскольку константа одна, а сшивать надо в двух точках, но для интегрального уравнения это нормально.

[StaticZero]

amon в сообщении #1357841 писал(а):

Решение, скорее всего, будет разрывным

Нет как раз, получается непрерывное решение. Действительно, я что-то не подумал об очевидном - отучили в универе думать...

В самом деле, на отрезке $[b, 0]$ решение очевидно: $u_1 = G$. Пусть на отрезке $[0, \theta_0]$ решение $u_2$. Тогда на отрезке $[\theta_0, c]$ уравнение

$$ u_3 = G + \mu \int \limits_0^{\theta_0} u_2 \ \mathrm dt, $$

то есть уравнения никакого и нет. Собственно, ответ такой:

$$ u = \begin{cases} G(x), \quad &b \leqslant x \leqslant 0 \\ G(0) e^{\mu x} + e^{\mu x} \int \limits_0^x G' e^{-\mu t} \ \mathrm dt, \quad &0 \leqslant x \leqslant \theta_0 \\ G(x) + G(0) e^{\mu \theta_0} - G(\theta_0) + e^{\mu \theta_0} \int \limits_0^{\theta_0} G' e^{-\mu t} \ \mathrm dt, \quad &\theta_0 \leqslant x \leqslant c \end{cases} $$

----
Ответ для $a$ получается такой же. Это весьма интересно.

[amon]

StaticZero в сообщении #1357869 писал(а):

$$ u = \begin{cases} G(x), \quad &b \leqslant x \leqslant 0 \\ G(0) e^{\mu x} + e^{\mu x} \int \limits_0^x G' e^{-\mu t} \ \mathrm dt, \quad &0 \leqslant x \leqslant \theta_0 \\ G(x) + G(0) e^{\mu \theta_0} - G(\theta_0) + e^{\mu \theta_0} \int \limits_0^{\theta_0} G' e^{-\mu t} \ \mathrm dt, \quad &\theta_0 \leqslant x \leqslant c \end{cases} $$

Если второе уравнение проинтегрировать по частям, то ответ может (если я не соврал) совпасть с моим. А в третьем уравнении, по-моему, лажа. Оно выглядит так:
$u=G+\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}u$
Обозначим $a=\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}u,$ проинтегрируем
$a=\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}G(x)dx+\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}dx'a$
$a=\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}G(x)dx+\mu\theta _0 a$
$a=\frac{\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}G(x)dx}{1-\mu\theta _0}$
$u=G+a$

[StaticZero]

amon, в третьем уравнении же в интеграл загружается часть решения $u$, которая берётся на промежутке $[0, \theta_0]$, разве нет?

[amon]

StaticZero в сообщении #1357876 писал(а):

в третьем уравнении же в интеграл загружается часть решения $u$, которая берётся на промежутке $[0, \theta_0]$, разве нет?

Сразу не соображу, но стопудово уравнение при $x>\theta_0$ выглядит как $u=G+\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}u.$ Решение его я написал. Сошьётся оно с предыдущим или нет надо соображать.

[StaticZero]

amon в сообщении #1357877 писал(а):

уравнение при $x>\theta_0$ выглядит как $u=G+\mu\int\limits_{0}^{\theta _0}u.$

Да, конечно. Но слева искомая функция определена на отрезке $[\theta_0, c]$, а справа интегрируется функция на $[0, \theta_0]$, удовлетворяющая уравнению $u' - \mu u= G'$...

Или я чего-то не понимаю в этой процедуре разделения решения на части и интегрирования через "зацепление".

[amon]

StaticZero в сообщении #1357878 писал(а):

удовлетворяющая уравнению $u' - \mu u= G'$

Этот дифур верен только внутри промежутка $[0, \theta_0].$ Вне этого промежутка при $x>\theta_0$ уравнение превращается в $u'=G',$ причем константа фиксируется. Поэтому с непрерывностью как-то, по-моему, не получается.

[StaticZero]

Так под интеграл-то надо засовывать - ту, которая и определена на $[0, \theta_0]$ - или не её?

[amon]

StaticZero в сообщении #1357883 писал(а):

Так под интеграл-то надо засовывать - ту, которая и определена на $[0, \theta_0]$ - или не её?

Надо ту, которая получается из решения уравнения при этом $x.$ У Вас разные уравнения при разных иксах, решать их приходится по-отдельности.

-- 01.12.2018, 01:28 --

Вы правы, это я соврал. Интегрировать надо предыдущую $u,$ и никакого разрыва не будет.

[StaticZero]

Да, увидел лажу прямой подстановкой. Сейчас распутаюсь.

-- 01.12.2018 в 01:59 --

StaticZero в сообщении #1357831 писал(а):

$$ u = G(b) \exp \left( \int \limits_b^x K \ \mathrm dy \right) + \exp \left( \int \limits_b^x K \ \mathrm dy \right) \int \limits_b^x G'(t) \exp \left( -\int \limits_b^t K \ \mathrm dy \right) \ \mathrm dt. $$

А это решение по прямой подстановке всё ещё проходит и удовлетворяет третьему уравнению так точно.