Длина параболы

[Korvin]

arseniiv в сообщении #1357638 писал(а):

Korvin в сообщении #1357631 писал(а):

Существует понятие овал, который заменял эллипс и строился 2 растворами циркуля из 4 точек.

Овал — более широкое понятие.

Ну если так. У проекции яйца сбоку всего 1 ось симметрии, и овалом в обыденном понимании не является, нужны 2 оси. Что и подтверждается Вашей ссылкой

their shape does not depart much from that of an ellipse,

и еще

In technical drawing, an oval is a figure constructed from two pairs of arcs, with two different radii (see image on the right). The arcs are joined at a point in which lines tangential to both joining arcs lie on the same line, thus making the joint smooth. Any point of an oval belongs to an arc with a constant radius (shorter or longer), but in an ellipse, the radius is continuously changing.

Из приведенного рисунка где эллипс и овал с равными поперечниками наложены один на другой следует, что у овала и периметр и площадь чуть поменьше, но в масштабе рисунка с трудом улавливается, при этом полуоси отличаются порядка в 2 раза, экцентриситет высокий. Чертежники и чертили овалы вместо построения эллипса по точкам и работы лекалом.
Где теперь все это после CAD?

Ну примерно как разница между бытовым пониманием цилиндр, и более расширенным геометрическим. Бытовой цилиндр всегда прямой круговой.

[warlock66613]

Евгений Машеров, не все лучи, выходящие из фокуса, будут параллельны после первого отражения.

[Korvin]

warlock66613 в сообщении #1357651 писал(а):

Евгений Машеров, не все лучи, выходящие из фокуса, будут параллельны после первого отражения.

Те, которые падают на другую параболу? Так можно за источником в фокусе масенькую круглую ширмочку поставить. Прожектор с параболоидом тоже кроме основного конуса света дает другой более широкий и слабый.

[JohnDou]

Тоже как-то пытался найти площадь криволинейного треугольника путём подобной замены.
На не очень больших(по длине) участках можно получить неплохое приближение сделав замену одной кривой второго порядка на другую. Но получить полное совпадение, если не изменяет память, не получится. Это можно доказать рассмотрев систему из производных (кривой которая была, и на которую заменяем). Интуиция примерно следующая: если "парабола" и "эллипс" одновременно начнут двигаться из точки a в точку б, "парабола" придёт в неё быстрее.

[Евгений Машеров]

Правда, собираться во втором фокусе будут только лишь не все лучи, а только отражённые от "родной" этому фокусу параболы, попавшие в другую параболу отразятся не туда.
Да, и шутка ещё в том, что предлагается длину параболы искать через длину эллипса. Но для длины дуги параболы есть довольно громоздкая, зато в элементарных функциях формула, которую и самому можно вывести при желании и терпении. А длина дуги эллипса - неберущийся интеграл, спецфункции юзать надо.
http://cyclowiki.org/wiki/%D0%94%D0%BB% ... 1%81%D0%B0

Ну, или приближённо.

Приближённые формулы для периметра эллипса:

$ L\approx 4{\frac {\pi ab+(a-b)^{2}}{a+b}}.$

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

$ L\approx 4\cdot \left(a^{x}+b^{x}\right)^{\left(1/x\right)}, где {\displaystyle x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2}}}}.} x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2}}}}. $
Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при 0,05<a/b<20 обеспечивает формула Рамануджана:

$L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right].$

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:

$L\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]$

[Korvin]

Евгений Машеров в сообщении #1357654 писал(а):

Приближённые формулы для периметра эллипса:

Рискну предложить самую приближенную формулу, путем замены эллипса овалом из 4 дуг окружностей
$ L\approx {\pi (a+b)}.$

[Евгений Машеров]

Korvin в сообщении #1357661 писал(а):

Рискну предложить самую приближенную формулу, путем замены эллипса овалом из 4 дуг окружностей
$ L\approx {\frac {\pi (a+b)}{a+b}}.$

Эээ...
$ L\approx {\frac {\pi (a+b)}{a+b}}=\pi=\operatorname{const}$

[Korvin]

Евгений Машеров в сообщении #1357662 писал(а):

Korvin в сообщении #1357661 писал(а):

Рискну предложить самую приближенную формулу, путем замены эллипса овалом из 4 дуг окружностей
$ L\approx {\frac {\pi (a+b)}{a+b}}.$

Эээ...
$ L\approx {\frac {\pi (a+b)}{a+b}}=\pi=\operatorname{const}$

Убедительно прошу этот Ваш пост удалить или дать комментарий по формуле. Плохо владея матом (редко пользуюсь), я копирую чужие формулы похожие (сейчас скопировал Вашу первую), и их редактирую под себя. Проверяю поэтапно через предпросмотр, добавляя и удаляя знаки. Знаменатель понятно Ваш, еще не успел убрать, и случайно машинально вместо предпросмотра нажал отправить, и окончательно редактировать пришлось так. А когда оформил окончательно, увидел Ваш пост.

[miflin]

(Оффтоп)

Korvin в сообщении #1357664 писал(а):

Убедительно прошу этот Ваш пост удалить

Слово не воробей...

[vpb]

(Оффтоп)

Korvin в сообщении #1357664 писал(а):

Плохо владея матом (редко пользуюсь

Рад, что Вы --- культурный и воспитанный человек!

[arseniiv]

(Оффтоп)

Korvin в сообщении #1357650 писал(а):

У проекции яйца сбоку всего 1 ось симметрии, и овалом в обыденном понимании не является, нужны 2 оси.

А тут-то она причём? Вы сказали, что овал — это только определённая фигура из четырёх дуг окружностей. Это не так, всё, тут нечего обсуждать.

Korvin в сообщении #1357650 писал(а):

Ну примерно как разница между бытовым пониманием цилиндр, и более расширенным геометрическим. Бытовой цилиндр всегда прямой круговой.

А бытовой овал, наоборот, весьма неопределён.

Korvin в сообщении #1357661 писал(а):

путем замены эллипса овалом из 4 дуг окружностей

Это даёт приемлемые результаты только для весьма узкого интервала эксцентриситетов примерно 0,65…0,85.

[wrest]

sinx в сообщении #1357599 писал(а):

Понятно, что можно воспользоваться формулами с интегралами, которые у квадратичной функции простые, но вот вообще
Вот допустим дана функция $y = x^2+c$ на отрезке $[a,b]$, ($c$ отличное от нуля хотим посчитать длину этой дуги $l$

Если "формулы с интегралами" простые -- можете привести их, и кратенько, раз они простые, их вывод?

[Korvin]

arseniiv в сообщении #1357808 писал(а):

Это даёт приемлемые результаты только для весьма узкого интервала эксцентриситетов примерно 0,65…0,85.

Для устного оценочного подсчета. Потом обратил внимание на приведенную Евгением Машеровым формулу Рамануджана (последнюю в списке, хотя по конструктивной валидности она могла бы стоять первой)
$L\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]$
Так и выходит - первым множителем нулевое приближение $ L\approx {\pi (a+b)}$, а затем близкая к 1 поправка-множитель, для частного случая окружности равная 1.
Остальные формулы не такие прозрачные.

[kotenok gav]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0 ... %BF%D1%81#Точные_формулы_для_периметра
Обе формулы у вас - частные случаи первой по ссылке.

[Munin]

kotenok gav
Не частные, а приближённые.