Задача на доказательство (теория групп)

[bayah]

Пусть $G$ — группа, $H \le G$. Рассмотрим множество $H\backslash G/ H$ двойных смежных классов по $H$ в $G$.
Докажите, что подгруппа $H$ нормальна тогда и только тогда, когда отображение $f$ из $G/H$ в $H \le G$, определенное посредством $f(aH)=HaH$ для любого $a \in G$, является биективным.

Есть доказательство (не мое):

Цитата:

1) Необходимость
Пусть $H$ - нормальная подгруппа.
$HaH = (Ha)H = (aH)H = aH$
Следовательно, $f(aH) = HaH = aH$ - тождественное отображение, следовательно биекция. Необходимость доказана.

2) Достаточность
Пусть $f$ - биективное отображение. Следовательно, количество левых (правых) смежных классов по подгруппе $H$ равно количеству правых смежных классов по подгруппе $H$. Пусть $|G:H| = n.$
По формуле индекса Фробениуса $n=|G:H|=|H:H \cap x_1 H x_1^{-1}|+...+|H:H \cap x_n H x_n^{-1}|$.
Следовательно, $\forall i: 0< i \leqslant n, |H:H\cap x_i H x_i^{-1}| = 1$.
То есть в каждом каждом двойном смежном классе по $H$ содержится один правый смежный класс по $H$. Следовательно
$\forall HaH \;\exists bH: HaH=bH$
$a \in bH \; (a = eae, e \in H \Rightarrow a \in HaH \Rightarrow a \in bH), a \in aH \Rightarrow aH \cap bH \neq \emptyset\\ \Rightarrow aH=bH,\Rightarrow HaH = aH$
Докажем теперь от противного, что если $HaH = aH$, то $Ha = aH$
Пусть $aH \neq Ha $
$|aH|=|Ha| = |H| \Rightarrow Ha \notin aH \Rightarrow \exists x:x \in Ha, x \notin aH \Rightarrow x \in (Ha)H$
$(e \in H) \Rightarrow HaH \neq aH$.
Получили противоречие, следовательно $Ha = aH$, что означает, что $H$ - нормальная подгруппа. Достаточность доказана.

Моя роль в этом типа проверяющего, ну и самому разобраться.
Не могли бы вы сказать верно ли все?
По-моему, все верно.
Единственное, тут:

Цитата:

Пусть $f$ - биективное отображение. Следовательно, количество левых (правых) смежных классов по подгруппе $H$ равно количеству правых смежных классов по подгруппе $H$.

кажется должно быть не о равенстве левых и правых смежных классах (так как это и так есть, безотносительно к задачи), а о равенстве количества левых смежных классов и двойных смежных классов.

Еще вопрос, а что если группа не конечная?
Нужно ли что-то дополнительно говорить в этом случае?

[Geen]

bayah в сообщении #1355345 писал(а):

Следовательно, $f(aH) = HaH = aH$ - тождественное отображение

Что такое "тождественное отображение"?

[bayah]

Geen в сообщении #1355384 писал(а):

Что такое "тождественное отображение"?

Ну типа $f(x) = x$

[Geen]

А определение можно?

[vpb]

Позвольте спросить, а что значит типа проверяющего ? Это студенческая работа, а Вы должны проверить ? Ну так Вы тогда должны сами разобраться, если Вы преподаватель. Или как ? Или, что более вероятно, Вы сами студент, Вам задали задание, кто-то его за Вас решил, а Вы хотите узнать, не обманули ли Вас ? Понимаете, на форуме не любят людей, которые просто чужой труд используют.

[demolishka]

vpb в сообщении #1355417 писал(а):

Позвольте спросить, а что значит типа проверяющего ?

Отвечу за автора темы. Это задача с платформы "Открытое образование", курс "Введение в теорию групп". Там большинство заданий тестовые и есть одно задание с письменным ответом. Проверка письменных решений отводится участникам курса, отправившим свое решение. Задача засчитывается, если 4 участника курса оценили решение как правильное.

Когда я пытался проходить этот курс, то на мое решение не набралось четырех проверяющих. Обратная связь с организаторами там практически нулевая, поэтому эту проблему так и не решили.

Я думаю, что нет ничего плохого в обсуждении задач этого курса на форуме, поскольку для получения сертификата там надо внести плату (в мое время что-то около 1800 рублей) для прохождения экзамена. Экзамен проходит онлайн и длится 30 минут, под контролем (через веб-камеру) специального человека, который следит за нарушениями. Чтобы сдать экзамен нужно очень быстро ориентироваться в вычислительных и контрпримерных частях курса, чего не добиться списыванием. Мне скорости не хватило и я, набрав 91/100 баллов за домашние задания, этот экзамен успешно провалил (набрал 37/100) . Так что обсуждение задач ввиду отсутствия нормального фидбека на самой платформе "Открытое образование", а также ввиду наличия в некоторых задачах неточностей будет полезно для народа. Некоторые задачи этого курса здесь уже разбирались.

[Geen]

demolishka в сообщении #1355430 писал(а):

ввиду наличия в некоторых задачах неточностей

Неточностей?? Не знаю как другие, а я довольно долго ломал голову над "условием"....

[bayah]

vpb в сообщении #1355417 писал(а):

Позвольте спросить, а что значит типа проверяющего ? Это студенческая работа, а Вы должны проверить ? Ну так Вы тогда должны сами разобраться, если Вы преподаватель. Или как ? Или, что более вероятно, Вы сами студент, Вам задали задание, кто-то его за Вас решил, а Вы хотите узнать, не обманули ли Вас ? Понимаете, на форуме не любят людей, которые просто чужой труд используют.

Нет, конечно не преподаватель)
Понимаю, что не любят тех кто чужой труд использует.
Но я не ищу выгоды для себя кроме понимания.
Да, задача из курса "Введение в теорию групп", как верно ответили уже:

demolishka в сообщении #1355430 писал(а):

Отвечу за автора темы. Это задача с платформы "Открытое образование", курс "Введение в теорию групп". Там большинство заданий тестовые и есть одно задание с письменным ответом. Проверка письменных решений отводится участникам курса, отправившим свое решение. Задача засчитывается, если 4 участника курса оценили решение как правильное.

Дедлайн по конкретному заданию уже пройден, и пользы для себя лично даже от списывания я уже не получу чисто технически.
Сам я эту зачаду не осилил. А это одно из чьих-то решений, которые нужно проверить.
Хоть сам я и не решил, мне интересно разобраться в доказательстве.
Вот на мой взгляд все верно, с некоторой неточностью, которую я и указал.

В принципе я мог бы и за свое решение выдать это доказательство, но зачем, правда?

-- 21.11.2018, 12:36 --

Geen в сообщении #1355413 писал(а):

А определение можно?

Тождественное отображение - отображение переводящее аргумент в себя.

Если же касаемо роли этой функции в задаче, то можно и без произношения "тождественное отображение" заметить что это биекция, так как выполняется инъективность и сюръективность.

[Geen]

bayah в сообщении #1355516 писал(а):

это биекция, так как выполняется инъективность и сюръективность

A именно это доказано? (там, конечно, всё просто, и я, может быть зря к словам придираюсь...)

[vpb]

bayah в сообщении #1355516 писал(а):

Нет, конечно не преподаватель)

Понимаю, что не любят тех кто чужой труд использует.
Но я не ищу выгоды для себя кроме понимания.

Понял. Ну извините, если что, я так спросил... на всякий случай.
Давайте одну вещь уточним.

bayah в сообщении #1355345 писал(а):

отображение $f$ из $G/H$ в $H \le G$,

Вот именно так в условии задачи и было написано, или это Вы ошибку сделали, переписывая его сюда ?

-- 21.11.2018, 11:32 --

Собственно по представленному решению. Необходимость доказана нормально (правда, автор решения выразился недостаточно изящно, но это ерунда, полностью правильное выражение мыслей тут студенту не по силам). А достаточность --- путаница. На самом деле, там не нужны ни порядки подгрупп, ни индексы (и конечность тоже не нужна). Попробуете сами найти решение или подсказать ?

[Geen]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1355589 писал(а):

полностью правильное выражение мыслей тут студенту не по силам

Вот не согласен. :-)
И на мой взгляд, именно в таких задачах надо оттачивать "умение отличать доказательства от не доказательств."

-- 21.11.2018, 13:06 --

vpb в сообщении #1355589 писал(а):

правда, автор решения выразился недостаточно изящно, но это ерунда

Возьмём натуральные числа, рациональные числа и функцию $f(n)=n/1$ (из первых во вторые). И подставим это в приведённое "доказательство"...

[vpb]

Geen в сообщении #1355595 писал(а):

Вот не согласен.
И на мой взгляд, именно в таких задачах надо оттачивать "умение отличать доказательства от не доказательств."

Нет, у меня на этот счет другое мнение, но дискутировать я сейчас не хочу.

[bayah]

vpb в сообщении #1355589 писал(а):

Понял. Ну извините, если что, я так спросил... на всякий случай.
Давайте одну вещь уточним.

Блин, да, конечно это я ошибся.
Там, естественно было отображение $f$ из $G/H$ в $H\backslash G/ H$.
Жаль нельзя отредактировать раннее сообщение.

-- 21.11.2018, 23:13 --

vpb в сообщении #1355589 писал(а):

Собственно по представленному решению. Необходимость доказана нормально (правда, автор решения выразился недостаточно изящно, но это ерунда, полностью правильное выражение мыслей тут студенту не по силам).

А можете уточнить о каком изяществе речь?

vpb в сообщении #1355589 писал(а):

А достаточность --- путаница.

То есть приведенное доказательство не верно?

vpb в сообщении #1355589 писал(а):

На самом деле, там не нужны ни порядки подгрупп, ни индексы (и конечность тоже не нужна). Попробуете сами найти решение или подсказать ?

Да пробовал, как раз без индексов и всего этого. Но вообще не продвинулся.
Была мысль как-то через фактор-группу.
Ну подкскажите тогда, пожалуйста.

[vpb]

Используйте (предварительно доказав) простое соображение: если $X$, $Y$ --- два подмножества в группе, $a$ и $b$ --- два элемента (один или оба из которых могут быть единицей), то $X\subseteq Y$ тогда и только тогда, когда $aXb\subseteq aYb$.

А именно, допустим, что $HaH=aH$ для любого $a$. Тогда, в частности, $Ha\subseteq aH$ для всех $a$. .... И что отсюда следует ?

-- 21.11.2018, 15:49 --

bayah в сообщении #1355662 писал(а):

А можете уточнить о каком изяществе речь?

Например, о таком: " Следовательно, $f(aH)=HaH=aH$. Поэтому любой двойной смежный класс есть левый смежный класс, а отображение $f$ есть, фактически, тождественное отображение на множестве левых смежных классов, и, в частности, биективно". Студент такими красотами стиля, как правило, не владеет. Да и вообще написана, формально говоря, ерунда: множество, тире, потом слова "тождественное отображение". Хотя на самом деле понятно, конечно, о чем речь. Но это так, мелочи.

[vpb]

bayah в сообщении #1355662 писал(а):

То есть приведенное доказательство не верно?

Нет, студент задачу решил по существу правильно, однако (а) довольно путано, (б) только для конечных групп, и (в) в рассуждении есть лишние этапы.

-- 21.11.2018, 17:58 --

Рекомендую-ка я Вам, на всякий случай, кучку литературы.
1) Самое простое: П.С.Александров, Введение в теорию групп; Фрид, см.выше (но в последней книжке, по мне, не всё хорошо); Гроссман, Магнус, Группы и их графы.
2) ван дер Варден, Алгебра, гл.2.
3) то, что относится к группам, в учебниках алгебры Кострикина и Винберга;
4) Калужнин, Введение в общую алгебру, гл.4. (пожалуй, даже лучше чем 3) ? )
5) Каргаполов, Мерзляков, Основы теории групп
6) Холл, Теория групп. (примерно, первая половина)
7) Rotman, An introduction to the theory of groups
8) Suzuki, Group theory I

(книжки расположены примерно в порядке возрастания сложности)
а также весьма рекомендую 9) задачник Белоногова (точное название не помню, есть в либгене). Но в нем ближе к концу задачи сложные, посвященные специальным вопросам. А Курош чересчур толстый, и, имхо, несколько устаревший, я бы не рекомендовал.