Задача на доказательство (теория групп)

[bayah]

vpb в сообщении #1355670 писал(а):

Используйте (предварительно доказав) простое соображение: если $X$, $Y$ --- два подмножества в группе, $a$ и $b$ --- два элемента (один или оба из которых могут быть единицей), то $X\subseteq Y$ тогда и только тогда, когда $aXb\subseteq aYb$.

Ну доказать можно домножив обе части включения слева на $a^{-1}$ и справа на $b^{-1}$.

vpb в сообщении #1355670 писал(а):

А именно, допустим, что $HaH=aH$ для любого $a$. Тогда, в частности, $Ha\subseteq aH$ для всех $a$. .... И что отсюда следует ?

А откуда это предположение? В доказательстве которое я привел это выводилось.
А как из $HaH=aH$ следует $Ha\subseteq aH$?
И так и не понял как тут применить соображение про равенство множеств.

vpb в сообщении #1355670 писал(а):

Например, о таком: " Следовательно, $f(aH)=HaH=aH$. Поэтому любой двойной смежный класс есть левый смежный класс, а отображение $f$ есть, фактически, тождественное отображение на множестве левых смежных классов, и, в частности, биективно".

Ну тут же просто записано словами, то что и говорится в равенстве, нет?

[vpb]

bayah в сообщении #1357347 писал(а):

А откуда это предположение? В доказательстве которое я привел это выводилось

Там были приведены какие-то рассуждения для случая, когда группа конечна. А на самом деле тут не надо никак использовать конечность, ни порядок, ни индекс. И доказывается это промежуточное утверждение очень просто. Сформулируем его еще раз, на всякий случай: " Если $G$ --- группа, $H$ --- ее подгруппа, и отображение $f\colon G/H\longrightarrow H\backslash G/H$ по правилу $aH\mapsto HaH$ биективно, то $HaH=aH$ для всех $a\in G$."

-- 28.11.2018, 18:52 --

bayah в сообщении #1357347 писал(а):

А как из $HaH=aH$ следует $Ha\subseteq aH$

Достаточно вспомнить определения, что такое $aH$, $Ha$, и $HaH$.

[bayah]

vpb в сообщении #1357358 писал(а):

Там были приведены какие-то рассуждения для случая, когда группа конечна. А на самом деле тут не надо никак использовать конечность, ни порядок, ни индекс. И доказывается это промежуточное утверждение очень просто. Сформулируем его еще раз, на всякий случай: " Если $G$ --- группа, $H$ --- ее подгруппа, и отображение $f\colon G/H\longrightarrow H\backslash G/H$ по правилу $aH\mapsto HaH$ биективно, то $HaH=aH$ для всех $a\in G$."

То что из биекции следует равенство это очевидно? Я что-то не понимаю почему.

[Someone]

bayah в сообщении #1357428 писал(а):

То что из биекции следует равенство это очевидно? Я что-то не понимаю почему.

А определение биекции знаете?

[bayah]

Someone в сообщении #1357429 писал(а):

А определение биекции знаете?

Отображение, которое инъективно и сюръективно. То есть для которого в данном случае из $Ha_iH = Ha_jH$ следует, что $a_iH = a_jH$(инъекция), и то, что для всякого $Ha_iH$ есть праобраз(сюръекция).

bayah в сообщении #1357428 писал(а):

То что из биекции следует равенство это очевидно? Я что-то не понимаю почему.

То есть иначе, почему не верно, что $\exists i \in \mathbb{N} : \forall j \in \mathbb{N}$ $a_iH \neq Ha_jH$?

[bayah]

bayah в сообщении #1357431 писал(а):

То есть иначе, почему не верно, что $\exists i \in \mathbb{N} : \forall j \in \mathbb{N}$ $a_iH \neq Ha_jH$?

Ой, это я путаю с равенством множества всех правых смежных классов с множеством двойных смежных классов в целом.
Ну тогда еще более сильное - почему не верно что $\exists i \in \mathbb{N} :$ $a_iH \neq Ha_iH$?

[vpb]

bayah в сообщении #1357513 писал(а):

почему не верно что $\exists i \in \mathbb{N} :$ $a_iH \neq Ha_iH$

Действительно, почему не верно ? (Это к ТС вопрос). Кое-что про двойные классы (самое простое) написано в 1-й главе книжки Холла.

[Geen]

А почему, вдруг, (натуральные) индексы появились?

[bayah]

Geen в сообщении #1357612 писал(а):

А почему, вдруг, (натуральные) индексы появились?

Ну группа не обязательно конечна - вот и рассматриваем для бесонечного случая.

[Geen]

bayah в сообщении #1357636 писал(а):

Geen в сообщении #1357612 писал(а):

А почему, вдруг, (натуральные) индексы появились?

Ну группа не обязательно конечна - вот и рассматриваем для бесонечного случая.

А она обязательно счётна?

[bayah]

Geen в сообщении #1357637 писал(а):

А она обязательно счётна?

Аа... вы про это. Не обязательно. А что-то принципиально отличное в рассмотрении от этого меняется?

[vpb]

Короче говоря, я считаю, что сформулированное выше вспомогательное утверждение --- такое простое, что если тут прямо написать его доказательство, то это будет уже не по формату форума.