Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?

[Ktina]

Существуют ли нецелые числа $x$ и $y$, для которых $\{x\}\cdot\{y\}=\{x+y\}?$

(Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.)

Автор задачи - Михаил Евдокимов.

Проверьте, пожалуйста, моё решение!

(Оффтоп)

Мне кажется, что надо рассмотреть два случая:

$\left[\begin{array}{l}\{x\}\cdot\{y\}=\{x\}+\{y\}\\\{x\}\cdot\{y\}=\{x\}+\{y\}-1\end{array}\right.$

Из первого случая следует:

$\{x\}\cdot\{y\}-\{x\}-\{y\}=0\Rightarrow \left(\{x\}-1\right)\left(\{y\}-1\right)=1\Rightarrow$ решений нет, так как оба сомножителя по модулю меньше 1.

Из второго случая следует:

$\{x\}\cdot\{y\}-\{x\}-\{y\}=-1\Rightarrow \left(\{x\}-1\right)\left(\{y\}-1\right)=0\Rightarrow$ решений нет, так как ни один из сомножителей не равен нулю.

Ответ: такие числа не существуют.

[Sicker]

Мне кажется, что здесь
$\{x\}\cdot\{y\}=\{x\}+\{y\}-1\end{array}$
надо $+1$ а не $-1$, например $x=y=0.7$, $\{0.7+0.7\}=\{0.7\}+\{0.7\}+1=1$

[Ktina]

Sicker
Дробная часть суммы двух вещественных чисел либо равна сумме дробных частей этих двух чисел, либо на единицу меньше этой суммы.
Вы же утверждаете, что не на единицу меньше, а на единицу больше, я Вас правильно понимаю?

[Mihr]

Ktina, а к чему Вы рассматриваете два случая? Очевидно, первый случай не реализуется хотя бы потому что произведение величин $\{x\}$, $\{y\}$ меньше любой из этих величин, а сумма, напротив, больше.
В остальном, по-моему, всё правильно.

[Sicker]

(Оффтоп)

Ktina
Я просто спутал дробную часть с целой

[wrest]

Ktina
Если сойдёт за нецелое, то
$\{0,(9)\} \cdot \{0,(9)\}=\{0,(9)+0,(9)\}$

[Mihr]

wrest,
если единица сойдёт за нецелое число?

[Sicker]

(Оффтоп)

wrest
Ну вы даете

[Ktina]

Mihr в сообщении #1355155 писал(а):

Ktina, а к чему Вы рассматриваете два случая?

К тому, чтобы покрыть все теоретически возможные случаи, а затем отмести невозможные практически.
А если честно, то в силу моей невнимательности.

-- 19.11.2018, 15:47 --

wrest в сообщении #1355183 писал(а):

Ktina
Если сойдёт за нецелое, то
$\{0,(9)\} \cdot \{0,(9)\}=\{0,(9)+0,(9)\}$

Вы думаете, жюри Турнира Городов приняло бы такой ответ?