2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 10:50 
Аватара пользователя
Существуют ли нецелые числа $x$ и $y$, для которых $\{x\}\cdot\{y\}=\{x+y\}?$

(Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.)

Автор задачи - Михаил Евдокимов.

Проверьте, пожалуйста, моё решение!

(Оффтоп)

Мне кажется, что надо рассмотреть два случая:

$\left[\begin{array}{l}\{x\}\cdot\{y\}=\{x\}+\{y\}\\\{x\}\cdot\{y\}=\{x\}+\{y\}-1\end{array}\right.$

Из первого случая следует:

$\{x\}\cdot\{y\}-\{x\}-\{y\}=0\Rightarrow \left(\{x\}-1\right)\left(\{y\}-1\right)=1\Rightarrow$ решений нет, так как оба сомножителя по модулю меньше 1.

Из второго случая следует:

$\{x\}\cdot\{y\}-\{x\}-\{y\}=-1\Rightarrow \left(\{x\}-1\right)\left(\{y\}-1\right)=0\Rightarrow$ решений нет, так как ни один из сомножителей не равен нулю.

Ответ: такие числа не существуют.

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 12:45 
Аватара пользователя
Мне кажется, что здесь
$\{x\}\cdot\{y\}=\{x\}+\{y\}-1\end{array}$
надо $+1$ а не $-1$, например $x=y=0.7$, $\{0.7+0.7\}=\{0.7\}+\{0.7\}+1=1$

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 13:02 
Аватара пользователя
Sicker
Дробная часть суммы двух вещественных чисел либо равна сумме дробных частей этих двух чисел, либо на единицу меньше этой суммы.
Вы же утверждаете, что не на единицу меньше, а на единицу больше, я Вас правильно понимаю?

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 13:07 
Аватара пользователя
Ktina, а к чему Вы рассматриваете два случая? Очевидно, первый случай не реализуется хотя бы потому что произведение величин $\{x\}$, $\{y\}$ меньше любой из этих величин, а сумма, напротив, больше.
В остальном, по-моему, всё правильно.

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 14:13 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Ktina
Я просто спутал дробную часть с целой :mrgreen:

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 14:45 
Ktina
Если сойдёт за нецелое, то
$\{0,(9)\} \cdot \{0,(9)\}=\{0,(9)+0,(9)\}$

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 15:04 
Аватара пользователя
wrest,
если единица сойдёт за нецелое число?

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 15:44 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

wrest
Ну вы даете :mrgreen:

 
 
 
 Re: Существуют ли нецелые числа с определённым свойством?
Сообщение19.11.2018, 15:47 
Аватара пользователя
Mihr в сообщении #1355155 писал(а):
Ktina, а к чему Вы рассматриваете два случая?

К тому, чтобы покрыть все теоретически возможные случаи, а затем отмести невозможные практически.
А если честно, то в силу моей невнимательности.

-- 19.11.2018, 15:47 --

wrest в сообщении #1355183 писал(а):
Ktina
Если сойдёт за нецелое, то
$\{0,(9)\} \cdot \{0,(9)\}=\{0,(9)+0,(9)\}$

Вы думаете, жюри Турнира Городов приняло бы такой ответ?

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group