Можно ли добав. к метр. функ. лин. член по координате? (ОТО)

[misha.physics]

Здравствуйте.
Решил ещё раз решить уравнения для грав. поля ОТО для метрической функции $g(r)$ (коэффициента первой квадратической формы (интервала)), но теперь вместо 11-компоненты тензорного уравнения взял 22-компоненту. В результате, вместо диф. уравнения 1-го порядка, получил диф. уравнение 2-го порядка. После первого интегрирования получается постоянная $g'(r)=...+C_1$, а после второго -- $g(r)=...+C_1r+C_2$. Полученная функция $g(r)$ полностью совпадает с функцией, полученной при решении 11-компоненты тензорного уравнения, с точностью до этого самого линейного члена $C_1r$. Там его нет.

Вопрос: означает ли это, что мы всегда можем прибавить к $g(r)$ произвольный член вида $Cr$ и полученная функция будет удовлетворять тому же уравнению? Тензор кривизны содержит в себе как 2-е производные от метрических коэффициентов, так и 1-е, входящие в выражения произведения символов Кристоффеля вида $\Gamma^i_{jk}\Gamma^k_{mn}$, значит здесь появится член вида $r$. Или он потом "сократится"?
Или существует какое-то условие на коэффициент $C_1$ в выражении $C_1r$, обнуляющий его?

Извините, что полез сразу с вопросом, не поискав на него ответ сначала в литературе :)

[Someone]

misha.physics, Вы бы подставили полученное решение в 11-уравнение и посмотрели, что получается.

[misha.physics]

Someone, точно, спасибо, удивительно, но не додумался. Тем более, что 11-компонента уравнения у меня уже приведена к "простому" виду диф. уравнения, нужно только подставить. Подставлю.

[misha.physics]

Расписал ещё 00-компоненту для полноты. Она дает то же диф. уравнение, что и 11-компонента. Это диф. уравнение 1-го порядка. А 22-компонента дает диф. уравнение 2-го порядка.

Понятно, что диф. уравнение 2-го порядка дает "более общее" решение. Так как, если мы проинтегрируем один раз это диф. уравнение 2-го порядка, то мы не получим то диф. уравнение 1-го порядка, которое у нас есть, они будут отличаться на постоянную интегрирования. При втором интегрировании диф. уравнения 2-го порядка у нас как раз таки получиться линейный член по переменной интегрирования.

Понятно, что решение диф. уравнения 1-го порядка удовлетворяет диф. уравнению 2-го порядка, но не наоборот. Возникает мысль, может нужно взять все-таки то "более общее" решение с линейным членом. Может у кого-то есть идеи на этот счёт?

Вроде без формул всё понятно, но пусть будет для примера:

1-е уравнение:

$y'(x)=ax+\displaystyle\frac{bx^{\alpha+1}}{\alpha+1}$

2-е уравнение:

$y''(x)=a+bx^\alpha$

Видно, что 2-е уравнение более богаче на постоянные интегрирования нежели 1-е.

[Someone]

misha.physics в сообщении #1354956 писал(а):

Понятно, что решение диф. уравнения 1-го порядка удовлетворяет диф. уравнению 2-го порядка, но не наоборот. Возникает мысль, может нужно взять все-таки то "более общее" решение с линейным членом. Может у кого-то есть идеи на этот счёт?

Извините, а Вы разницу между системой уравнений и совокупностью уравнений понимаете?

[misha.physics]

Someone, систему, в моем понимании, нужно решать совместно.

Я думал, что разные компоненты моего тензорного уравнения должны давать то же самое. У меня же только одна неизвестная величина -- $g(r)$.

Предположу, что разные компоненты тензорного уравнения формируют систему уравнений, по аналогии с векторным уравнением. Но для меня здесь нет полной ясности. Если у меня всего одна неизвестная величина, то я могу рассматривать эти уравнения просто как совокупность независимых уравнений?

[Someone]

misha.physics в сообщении #1354980 писал(а):

Если у меня всего одна неизвестная величина, то я могу рассматривать эти уравнения просто как совокупность независимых уравнений?

Так всё-таки, у Вас система или совокупность? Решение должно удовлетворять какому-нибудь одному уравнению или всем одновременно?

misha.physics в сообщении #1354980 писал(а):

Предположу, что разные компоненты тензорного уравнения формируют систему уравнений, по аналогии с векторным уравнением. Но для меня здесь нет полной ясности.

Я не понимаю, причём тут тензоры и векторы. Система и совокупность — это не векторы и не тензоры. Это чисто логические понятия, и они соответствуют определённым формулам математической логики.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1354997 писал(а):

Так всё-таки, у Вас система или совокупность?

Честно, не знаю. Те два диф. уравнения, что я приводил (одно 1-го и одно 2-го порядка) это соответственно 00(11)-компонента и 22-компонента тензорного уравнения гравитационного поля, ну в смысле $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+...=0$.

Someone в сообщении #1354997 писал(а):

Решение должно удовлетворять какому-нибудь одному уравнению или всем одновременно?

Тоже не знаю, но мне представляется, что решение должно удовлетворять всем компонентам тензорного уравнения одновременно, но вероятно я что-то не понимаю.

-- 18 ноя 2018, 18:40 --

Похоже, я не могу ответить на ваши вопросы потому что недостаточно ясно ещё представляю себе тензорные уравнения гравитационного поля в ОТО.

[Someone]

misha.physics в сообщении #1355015 писал(а):

но вероятно я что-то не понимаю.

У Вас проблемы где-то на очень низком уровне.
Понимаете ли Вы, что такое тензорное равенство?
Понимаете ли Вы, что такое решение уравнения?
Понимаете ли Вы, что это означает для тензорного уравнения?
Попробуйте сформулировать.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1355041 писал(а):

Попробуйте сформулировать.

Попробую своими словами, первое что приходит в голову.

Someone в сообщении #1355041 писал(а):

Понимаете ли Вы, что такое тензорное равенство?

Под тензорным равенством я понимаю равенство соответствующих компонент тензора. Если есть тензорное уравнение $A_{ik}=B_{ik}$, то оно означает набор равенств для каждой из компонент, получаемых при одновременном и одинаковом фиксировании индексов $i$ и $k$ слева и справа.

Someone в сообщении #1355041 писал(а):

Понимаете ли Вы, что такое решение уравнения?

Решением уравнения называют такой объект (неизвестное, входящее в уравнение), который будучи подставлен в данное уравнение превращает его в тождество, типа $0=0$.

Someone в сообщении #1355041 писал(а):

Понимаете ли Вы, что это означает для тензорного уравнения?

Я понимаю это так, что если мы возьмем из всего этого набора уравнений для компонент тензорного уравнения какое-то одно, найдем решение (если получится, т. е. там будет всего одна неизвестная величина и нам не нужно будет решать систему уравнений), подставим его в исходное уравнение и получим тождество. Теперь если мы подставим это же решение в уравнения других компонент тензорного уравнения (и если там не будет других неизвестных, мы ведь их ещё не находили), то мы тоже получим тождества.

-- 18 ноя 2018, 22:46 --

Ну а если у нас неизвестных несколько, то прийдется пробовать решать систему уравнений, т. е. совместно решать несколько уравнений для компонент тензорного уравнения. При этом мы здесь ещё ничего не говорим о количестве неизвестных, количестве независимых уравнений и т. д.

-- 18 ноя 2018, 22:52 --

Да, можно ещё взять (если есть) другое тензорное уравнение (например, для электромагнитного поля) взять оттуда какие-то компоненты тензорного уравнения и решать их совместно с какими-то компонентами тензорного уравнения гравитационного поля. У меня, в принципе, был похожий случай, но мне удалось сначала найти "электромагнитное поле" без решения уравнения грав. поля, потом я подставил полученный результат в уравнения грав. поля и у меня получилась всего одна неизвестная величина $g(r)$. Причем так получилось для каждой из диагональных компонент тензорного уравнения (00, 11 и 22).

-- 18 ноя 2018, 23:00 --

Я понимаю, что я ещё не вполне ясно себе это представляю, например, соотношение числа неизвестных и числа уравнений и т. д. Просто решил сейчас пересчитать свои результаты, но взял другую компоненту тензорного уравнения. Получил добавочный линейный член по $r$. Вот и встал вопрос сам собой. Пока это не прояснил дальше двигаться не могу, но останавливаться сейчас надолго именно на исследовании самих уравнений, на их "достаточности" и т. д. я сейчас не думал. Или думаете это плохо и нужно сразу это разъяснить для себя, а не возвращаться к этому позднее?

[Someone]

misha.physics в сообщении #1355067 писал(а):

Если есть тензорное уравнение $A_{ik}=B_{ik}$, то оно означает набор равенств для каждой из компонент

Что значит — "набор равенств"? Они должны выполняться все или достаточно одного?

misha.physics в сообщении #1355067 писал(а):

подставим его в исходное уравнение и получим тождество. Теперь если мы подставим это же решение в уравнения других компонент тензорного уравнения (и если там не будет других неизвестных, мы ведь их ещё не находили), то мы тоже получим тождества.

Это с какой стати? Вы своё решение уравнения второго порядка в уравнение первого порядка подставляли? В той системе, которую Вы решали. Я ведь Вам советовал это сделать. У Вас там тождество получилось?

misha.physics в сообщении #1355067 писал(а):

я ещё не вполне ясно себе это представляю, например, соотношение числа неизвестных и числа уравнений и т. д.

И причём тут вообще количество уравнений и количество неизвестных? И то, и другое может быть совершенно произвольным.

misha.physics в сообщении #1355067 писал(а):

Или думаете это плохо и нужно сразу это разъяснить для себя, а не возвращаться к этому позднее?

С этим надо было разобраться ещё в школе, за много лет до того, как начали изучать ОТО.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1355115 писал(а):

Что значит — "набор равенств"? Они должны выполняться все или достаточно одного?

Я, думаю, все. Это верно?

Someone в сообщении #1355115 писал(а):

Это с какой стати? Вы своё решение уравнения второго порядка в уравнение первого порядка подставляли? В той системе, которую Вы решали. Я ведь Вам советовал это сделать. У Вас там тождество получилось?

Сделал ещё после первого вашего сообщения. Тождества не получилось. В этом и проблема. Какое решение взять.

Someone в сообщении #1355115 писал(а):

С этим надо было разобраться ещё в школе, за много лет до того, как начали изучать ОТО.

С чем именно нудо было разобраться в школе? Я не очень понимаю в чем мое непонимание. Можете объяснить?

[Someone]

misha.physics в сообщении #1355139 писал(а):

Я, думаю, все. Это верно?

А Вы как равенство тензоров определяете? Там все равенства соответствующих компонент должны выполняться или только некоторые? Например, тензоры $(1,4,-2,0,-5)$ и $(1,4,-3,0,-5)$ равны или нет?

misha.physics в сообщении #1355139 писал(а):

С чем именно нудо было разобраться в школе? Я не очень понимаю в чем мое непонимание. Можете объяснить?

С тем, что такое система уравнений и чем она отличается от совокупности.

-- Пн ноя 19, 2018 13:31:23 --

Вы, пожалуйста, не обижайтесь. Я, конечно, могу просто написать, что такое система и что такое совокупность, но я хочу вытянуть это из Вас. Мне кажется, что Вы лучше поймёте, если придёте к этому сами.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1355161 писал(а):

Мне кажется, что Вы лучше поймёте, если придёте к этому сами.

Согласен, спасибо, приду домой и отвечу на ваши вопросы, напишу, что я понимаю под системой и совокупностью уравнений и т. д. Сейчас просто с телефона неудобно формулы писать, а мне на примерах будет проще изъясниться.

-- 19 ноя 2018, 13:10 --

Пока писал, понял, что похоже у меня все-таки та постоянная должна будет равняться нулю. Чтобы решение удовлетворяло и диф. уравнению 1-го порядка.

[misha.physics]

Someone, начну с того, что я похоже разобрался. Конечно, уравнения для всех компонент тензорного уравнения должны приниматься как система уравнений и её нужно решать совместно. Решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. У меня получалось, что решение диф. уравнения 1-го порядка удовлетворяет также диф. уравнению 2-го порядка, но решение (общее) диф. уравнения 2-го порядка не удовлетворяет диф. уравнению 1-го порядка. Понятно, что нам нужно решение не какого-либо отдельно взятого уравнения, а решение системы уравнений. Поэтому мы должны взять решение, которое удовлетворяет всем уравнениям. То есть, мне нужно взять решение без линейного члена $Cr$. Мое диф. уравнение 1-го порядка как бы "обнуляет" коэффициент $C$. Просто сначала меня это волновало, я думал, что постоянные интегрирования должны определяться только начальными условиями, но здесь дело другое, здесь мы имеем дело с системой уравнений, и чтобы ей удовлетворить, нам нужно принять $C=0$. Интересно, что раньше я не придал важности тому, что у меня есть система уравнений. Раньше я просто был взял 11-компоненту тензорного уравнения, получил решение и автоматически подумал, что оно будет удовлетворять всем другим уравнениям данной системы. Но как оказалось это не обязательно будет так. Мне просто повезло, что та компонента тензорного уравнения, которую я взял (11) оказалась диф. уравнением 1-го порядка, и линейного члена у меня не возникало.

Someone в сообщении #1355161 писал(а):

Там все равенства соответствующих компонент должны выполняться или только некоторые?

Все.

Someone в сообщении #1355161 писал(а):

Например, тензоры $(1,4,-2,0,-5)$ и $(1,4,-3,0,-5)$ равны или нет?

Нет, не равны.

Someone в сообщении #1355161 писал(а):

С тем, что такое система уравнений и чем она отличается от совокупности.

Похоже я уже провел для себя грань между системой и совокупностью уравнений. Об системе понял. Теперь что такое совокупность уравнений. Я бы сказал, что совокупность уравнений это набор уравнений, не формирующий систему уравнений. Если какая-то величина удовлетворяет одному уравнению из совокупности уравнений, то она вообще говоря не обязана удовлетворять какому-то другому уравнению из данной совокупности. Можно представить себе совокупность из двух уравнений как по одному уравнению, описывающему разные физические системы. А можете привести пример набора уравнений (описывающих ту же физическую систему), но не являющегося системой уравнений, то есть являющегося совокупностью уравнений?