Можно ли добав. к метр. функ. лин. член по координате? (ОТО)

[Someone]

misha.physics в сообщении #1355269 писал(а):

Если какая-то величина удовлетворяет одному уравнению из совокупности уравнений, то она вообще говоря не обязана удовлетворять какому-то другому уравнению из данной совокупности.

Точнее сказать так: решение совокупности должно удовлетворять хотя бы одному уравнению (неравенству и т. п.) совокупности, а решение системы — всем уравнениям (неравенствам и т. п.) системы. Надо иметь в виду, что элементами системы могут быть совокупности, а элементами совокупности — системы.

С точки зрения математической логики система имеет вид высказывания $\Phi_1(x)\wedge\Phi_2(x)\wedge\ldots\wedge\Phi_n(x)$ (конъюнкция), а совокупность — вид высказывания $\Phi_1(x)\vee\Phi_2(x)\vee\ldots\vee\Phi_n(x)$ (дизъюнкция).

misha.physics в сообщении #1355269 писал(а):

А можете привести пример набора уравнений (описывающих ту же физическую систему), но не являющегося системой уравнений, то есть являющегося совокупностью уравнений?

Совокупности обычно естественным образом появляются, если в процессе решения системы нужно отдельно рассматривать несколько случаев, например, если какое-нибудь уравнение по-разному решается в разных областях изменения переменных, или если уравнение распадается.

Пример. Рассмотрим статическую плоскосимметричную метрику в вакууме. Преобразованиями координат её можно привести к виду

$$ds^2=e^{2\nu}c^2dt^2-e^{2\mu}(dx^2+dy^2)-dz^2,$$

где $\mu$ и $\nu$ — функции координаты $z$. Система уравнений гравитационного поля имеет вид

$$\begin{cases}2\mu''+3(\mu')^2=0,\\ \mu''+\nu''+(\mu')^2+\mu'\nu'+(\nu')^2=0,\\ \mu'(\mu'+2\nu')=0.\end{cases}$$

Третье уравнение в этой системе распадается, поэтому систему можно переписать так (третий элемент системы — совокупность двух уравнений):

$$\begin{cases}2\mu''+3(\mu')^2=0,\\ \mu''+\nu''+(\mu')^2+\mu'\nu'+(\nu')^2=0,\\ \left[\begin{array}{l}\mu'=0,\\ \mu'+2\nu'=0.\end{array}\right.\end{cases}$$

А далее эту систему можно превратить в совокупность двух систем:

$$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}2\mu''+3(\mu')^2=0,\\ \mu''+\nu''+(\mu')^2+\mu'\nu'+(\nu')^2=0,\\ \mu'=0,\end{cases}\\ \begin{cases}2\mu''+3(\mu')^2=0,\\ \mu''+\nu''+(\mu')^2+\mu'\nu'+(\nu')^2=0,\\ \mu'+2\nu'=0.\end{cases}\end{array}\right.$$

Громоздить такие штуки совсем не обязательно, просто нужно решить две системы, которые в совокупности описывают возможные плоскосимметричные метрики.

[misha.physics]

Someone, благодаря вашему примеру понял это:

Someone в сообщении #1355326 писал(а):

Надо иметь в виду, что элементами системы могут быть совокупности, а элементами совокупности — системы.

Спасибо.

Someone в сообщении #1355326 писал(а):

Пример. Рассмотрим статическую плоскосимметричную метрику в вакууме. Преобразованиями координат её можно привести к виду

А можете привести эту метрику до преобразования координат?

Someone в сообщении #1355326 писал(а):

Система уравнений гравитационного поля имеет вид

А функционал действия, из которого получается эта система уравнений гравитационного поля записывается как?:

$$S[g_{\mu\nu}]=\int cdtdxdydz\sqrt{-\det||g_{\mu\nu}||}R$$

$R$ - скалярная кривизна.
Да?

[Someone]

misha.physics в сообщении #1355331 писал(а):

А можете привести эту метрику до преобразования координат?

Есть книга "Точные решения уравнений Эйнштейна" под ред. Э. Шмутцера, Москва, Энергоиздат, 1982. Там есть некоторая теория, из которой следует, что для плоскосимметричной метрики можно выбрать координаты так, чтобы интервал имел вид

$$ds^2=Y^2(z,t)(dx^2+dy^2)+e^{2\lambda(z,t)}dz^2-e^{2\nu(z,t)}dt^2$$

(формула (13.9)). В статическом случае функции $Y$, $\lambda$, $\nu$ от $t$ не зависят, поэтому от $\lambda$ можно избавиться, переопределив координату $z$. Кроме того, можно положить $Y=e^{\mu(z)}$. Наконец, я привык определять метрический тензор с противоположным знаком и измерять временну́ю координату в секундах, а не в метрах, поэтому пишу $c^2dt^2$.

misha.physics в сообщении #1355331 писал(а):

А функционал действия, из которого получается эта система уравнений гравитационного поля записывается как?

По-моему, его запись от вида метрики не зависит. Я для вычисления всяких тензоров и уравнений по метрике написал себе процедуры для Wolfram Mathematica и пользуюсь ими, не заморачиваясь видом лагранжиана.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1355333 писал(а):

По-моему, его запись от вида метрики не зависит.

Я имел ввиду, что эта ваша система:

Someone в сообщении #1355326 писал(а):

$$\begin{cases}2\mu''+3(\mu')^2=0,\\ \mu''+\nu''+(\mu')^2+\mu'\nu'+(\nu')^2=0,\\ \mu'(\mu'+2\nu')=0.\end{cases}$$

получена из тензорного уравнения:

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=0$$

Да?

Кстати, я так понимаю, эти три ваши уравнения это всё что дало нам тензорное уравнение. Все другие компоненты удовлетворяются тождественно (типа $0=0$) или дают то же самое, да? Я до этого расписывал только диагональные компоненты (00, 11, 22) тензорного уравнения, но решил сейчас взять ещё 01-компоненту. Получил $R_{01}=0$, и получил тождество $0=0$. А не будет ли так, что нам "достаточно" расписать только диагональные компоненты тензорного уравнения? Или это будет зависить от конкретного уравнения?

[Someone]

misha.physics в сообщении #1355407 писал(а):

Да?

Да.

misha.physics в сообщении #1355407 писал(а):

Кстати, я так понимаю, эти три ваши уравнения это всё что дало нам тензорное уравнение. Все другие компоненты удовлетворяются тождественно (типа $0=0$) или дают то же самое, да?

Да.

misha.physics в сообщении #1355407 писал(а):

это будет зависить от конкретного уравнения?

Да.