Ряд, обратный к другому ряду.

[kotenok gav]

Наверно, тривиальный вопрос... Но я нигде не нашел.
Как найти ряд $\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_nz^n=\frac1{\sum\limits_{k=0}^{\infty}b_nz^n}$, если мы знаем $b_n$?
Я перемножнил ряды и получил нелинейное реккурентное уравнение. Как его решить?

[thething]

Можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.. При определённых условиях. Лучше смотреть на конкретном примере.
Можно тут придумать общие условия и свести это к теореме о подстановке ряда в ряд, где "внешним" рядом будет геометрическая прогрессия. Тогда у "внутреннего ряда" модуль свободного члена должен быть меньше единицы.

[kotenok gav]

thething в сообщении #1353896 писал(а):

Лучше смотреть на конкретном примере.

$b_n=\frac{(-1)^n}{n2^{n-1}}(H(n-1)-\ln 2)$, если $n=1$, то H(n-1) считается 0.

[Евгений Машеров]

kotenok gav в сообщении #1353893 писал(а):

Я перемножнил ряды и получил нелинейное реккурентное уравнение. Как его решить?

Рекуррентно. $c_0=\frac 1 {b_0}$, а потом для первого, второго и т.д. члена. Общее выражение, боюсь, угадывать придётся, а численные значения делаются довольно механической процедурой.

[kotenok gav]

Евгений Машеров в сообщении #1353907 писал(а):

Общее выражение, боюсь, угадывать придётся

Тут очень громоздкие $b_n$, думаю, что $c_n$ не угадаю.

[thething]

kotenok gav в сообщении #1353905 писал(а):

если $n=1$

А если 0?

Выделите из знаменателя свободный член, так, чтобы получить дробь $\frac{1}{1+(a_1z+a_2z^2+...)}$ и распишите геом. прогрессию. Если докажете, что $a_1z+a_2z^2+...\to 0$ при $z\to 0$, то будет обоснована правильность данного перехода. Собственно, внутри интервала сходимости сумма степенного ряда непрерывна. Так что какой у Вас интервал сходимости?

Правда, боюсь, закономерности в коэффициентах не будет. Но просчитать можно любой.

[kotenok gav]

thething в сообщении #1353914 писал(а):

А если 0?

То $\ln ^2 2$.

[Student2018]

В книге Леонарда Эйлера "Дифференциальное Исчисление" на стр. 352 (пункт 204) подробно расписан метод, который предложил Евгений Машеров. Этот же способ Эйлер использует в "Введение в анализ бесконечных. Том 1" где-то на 71-74 стр., там где про деление рядов.

[kotenok gav]

Во-первых, такой метод очевиден. Во-вторых, меня интересует замкнутое решение.

[JohnDou]

(О более общем приёме)

Для выражения $f(g(x))$ через ряд, может быть полезен метод неопределенных коэффициентов:
Допустим что $f(g(x))=a_0+a_1x+a_2x^2+...$ Подставим х=0, тогда $a_0=f(g(0))$. Дифференцируем, получаем $\left( f(g(x)) \right)'=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...$. Повторим: $a_1=\left( f(g(0)) \right)'$ итд.
Для нахождения $\left( f(g(x)) \right)^{(n)}$ может быть полезен Бином Лейбница.
Пример: $\left( \frac{1-x}{1+x}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n 2n!}{(1+x)^{n+1}}$ и тогда
$\frac{1-x}{1+x}=1-2x+2x^2-2x^3-...$ (этот ряд можно найти более простым способом)
$xe^{-x}\int\frac{e^x}{x}=\frac{0!}{x^0}+\frac{1!}{x^1}+\frac{2!}{x^2}+...$
Конечно, есть и свои нюансы: следует быть внимательным с точками разрыва, скоростью сходимости, доступными интервалами итп.

[kotenok gav]

JohnDou
Спасибо!

[Евгений Машеров]

Student2018 в сообщении #1353926 писал(а):

метод, который предложил Евгений Машеров

Эээ... "предложил использовать". Предложил метод, боюсь, всё же Эйлер...

[novichok2018]

Задачу можно свести к перемножению рядов, общая формула для коэффициентов Коши (свёртка Коши), это тут и обсуждали. Приводит к системе для коэффициентов частного.
Явная формула для деления степенных рядов малоизвестна, но она существует: Интегралы и ряды, Физматлит 2003, т.3., с. 644. Выражает коэффициенты частного через бесполезные определители, но выражает.
Частный случай для обратного к ряду, кажется, есть в книге Бурбаков ТФВП, не уверен точно (по памяти).
Хотя может быть формула через определители не такая и бесполезная. Для тангенса она даёт представление чисел Бернулли через определители, и для других подобных простых функций (типа логарифма) даёт представление других известных комбинаторных чисел (типа Стирлинга).

[kotenok gav]

novichok2018 в сообщении #1354240 писал(а):

Явная формула для деления степенных рядов малоизвестна, но она существует: Интегралы и ряды, Физматлит 2003, т.3., с. 644. Выражает коэффициенты частного через бесполезные определители, но выражает.

Спасибо!!!

-- 16 ноя 2018, 00:01 --

JohnDou в сообщении #1353948 писал(а):

Для нахождения $\left( f(g(x)) \right)^{(n)}$ может быть полезен Бином Лейбница.

Сейчас посмотрел еще раз на этот метод. В правиле Лейбница снова возникнет рекурсия.

[kotenok gav]

У меня получилось, что нужно посчитать следующий определитель:

$$\begin{vmatrix} b_1 & b_0 & 0 & 0&\cdots & 0 \\ b_2 & b_1 & b_0 & 0&\cdots & 0\\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0&\cdots & 0\\ b_4 & b_3 & b_2 & b_1&\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots&\ddots & \vdots \\ b_n & b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3}&\cdots & b_0 \end{vmatrix}$$

$b_k$ я описал выше.