2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:02 


21/05/16
4292
Аделаида
Наверно, тривиальный вопрос... Но я нигде не нашел.
Как найти ряд $\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_nz^n=\frac1{\sum\limits_{k=0}^{\infty}b_nz^n}$, если мы знаем $b_n$?
Я перемножнил ряды и получил нелинейное реккурентное уравнение. Как его решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.. При определённых условиях. Лучше смотреть на конкретном примере.
Можно тут придумать общие условия и свести это к теореме о подстановке ряда в ряд, где "внешним" рядом будет геометрическая прогрессия. Тогда у "внутреннего ряда" модуль свободного члена должен быть меньше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:15 


21/05/16
4292
Аделаида
thething в сообщении #1353896 писал(а):
Лучше смотреть на конкретном примере.

$b_n=\frac{(-1)^n}{n2^{n-1}}(H(n-1)-\ln 2)$, если $n=1$, то H(n-1) считается 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
kotenok gav в сообщении #1353893 писал(а):
Я перемножнил ряды и получил нелинейное реккурентное уравнение. Как его решить?


Рекуррентно. $c_0=\frac 1 {b_0}$, а потом для первого, второго и т.д. члена. Общее выражение, боюсь, угадывать придётся, а численные значения делаются довольно механической процедурой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:20 


21/05/16
4292
Аделаида
Евгений Машеров в сообщении #1353907 писал(а):
Общее выражение, боюсь, угадывать придётся

Тут очень громоздкие $b_n$, думаю, что $c_n$ не угадаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
kotenok gav в сообщении #1353905 писал(а):
если $n=1$

А если 0?

Выделите из знаменателя свободный член, так, чтобы получить дробь $\frac{1}{1+(a_1z+a_2z^2+...)}$ и распишите геом. прогрессию. Если докажете, что $a_1z+a_2z^2+...\to 0$ при $z\to 0$, то будет обоснована правильность данного перехода. Собственно, внутри интервала сходимости сумма степенного ряда непрерывна. Так что какой у Вас интервал сходимости?

Правда, боюсь, закономерности в коэффициентах не будет. Но просчитать можно любой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:30 


21/05/16
4292
Аделаида
thething в сообщении #1353914 писал(а):
А если 0?

То $\ln ^2 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 12:55 


12/09/18
39
В книге Леонарда Эйлера "Дифференциальное Исчисление" на стр. 352 (пункт 204) подробно расписан метод, который предложил Евгений Машеров. Этот же способ Эйлер использует в "Введение в анализ бесконечных. Том 1" где-то на 71-74 стр., там где про деление рядов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 13:17 


21/05/16
4292
Аделаида
Во-первых, такой метод очевиден. Во-вторых, меня интересует замкнутое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 13:48 
Аватара пользователя


20/07/18
103

(О более общем приёме)

Для выражения $f(g(x))$ через ряд, может быть полезен метод неопределенных коэффициентов:
Допустим что $f(g(x))=a_0+a_1x+a_2x^2+...$ Подставим х=0, тогда $a_0=f(g(0))$. Дифференцируем, получаем $\left( f(g(x)) \right)'=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...$. Повторим: $a_1=\left( f(g(0)) \right)'$ итд.
Для нахождения $\left( f(g(x)) \right)^{(n)}$ может быть полезен Бином Лейбница.
Пример: $\left( \frac{1-x}{1+x}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n 2n!}{(1+x)^{n+1}}$ и тогда
$\frac{1-x}{1+x}=1-2x+2x^2-2x^3-...$ (этот ряд можно найти более простым способом)
$xe^{-x}\int\frac{e^x}{x}=\frac{0!}{x^0}+\frac{1!}{x^1}+\frac{2!}{x^2}+...$
Конечно, есть и свои нюансы: следует быть внимательным с точками разрыва, скоростью сходимости, доступными интервалами итп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение14.11.2018, 13:56 


21/05/16
4292
Аделаида
JohnDou
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение15.11.2018, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Student2018 в сообщении #1353926 писал(а):
метод, который предложил Евгений Машеров


Эээ... "предложил использовать". Предложил метод, боюсь, всё же Эйлер... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение15.11.2018, 11:44 
Заблокирован


16/04/18

1129
Задачу можно свести к перемножению рядов, общая формула для коэффициентов Коши (свёртка Коши), это тут и обсуждали. Приводит к системе для коэффициентов частного.
Явная формула для деления степенных рядов малоизвестна, но она существует: Интегралы и ряды, Физматлит 2003, т.3., с. 644. Выражает коэффициенты частного через бесполезные определители, но выражает.
Частный случай для обратного к ряду, кажется, есть в книге Бурбаков ТФВП, не уверен точно (по памяти).
Хотя может быть формула через определители не такая и бесполезная. Для тангенса она даёт представление чисел Бернулли через определители, и для других подобных простых функций (типа логарифма) даёт представление других известных комбинаторных чисел (типа Стирлинга).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение15.11.2018, 16:14 


21/05/16
4292
Аделаида
novichok2018 в сообщении #1354240 писал(а):
Явная формула для деления степенных рядов малоизвестна, но она существует: Интегралы и ряды, Физматлит 2003, т.3., с. 644. Выражает коэффициенты частного через бесполезные определители, но выражает.

Спасибо!!!

-- 16 ноя 2018, 00:01 --

JohnDou в сообщении #1353948 писал(а):
Для нахождения $\left( f(g(x)) \right)^{(n)}$ может быть полезен Бином Лейбница.

Сейчас посмотрел еще раз на этот метод. В правиле Лейбница снова возникнет рекурсия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд, обратный к другому ряду.
Сообщение15.11.2018, 17:16 


21/05/16
4292
Аделаида
У меня получилось, что нужно посчитать следующий определитель:
$$\begin{vmatrix}
b_1 & b_0 & 0 & 0&\cdots & 0 \\
b_2 & b_1 & b_0 & 0&\cdots & 0\\
b_3 & b_2 & b_1 & b_0&\cdots & 0\\
b_4 & b_3 & b_2 & b_1&\cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots&\ddots & \vdots \\
b_n & b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3}&\cdots & b_0 
\end{vmatrix}$$
$b_k$ я описал выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group