Единственность представления в факториальной системе

[CliniqueHappy]

Допустим, что мы представили число n $a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+\cdots+a_m\cdot m!=b_1\cdot1!+b_2\cdot2!+\cdots+b_m\cdot m!$ где $a_m > b_m$
Но тогда, выбирая $a_i$ минимально возможными, то есть равными нулю, а $b_i$ максимально возможными, то есть равными i, мы получаем неравенство $m!\le(a_m-b_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m-1)\cdot(m-1)!=m!-1$ Не понятно как это неравенство получается.

[mihaild]

Какой именно переход непонятен? Их несколько.

[CliniqueHappy]

[quote="mihaild в сообщении #1353484"]Можете все перечислить?

[mihaild]

Нет, не могу, это даже на "простую учебную задачу" не тянет.
Максимум могу еще сказать следующее: у вас написано несколько неравенств (т.к. одиночное неравенство имеет вид (левая часть) (знак) (правая часть)), и непонятно, про какое из них вопросы.
(ну и где самостоятельные попытки его получить)

[CliniqueHappy]

mihaild в сообщении #1353530 писал(а):

Нет, не могу, это даже на "простую учебную задачу" не тянет.
Максимум могу еще сказать следующее: у вас написано несколько неравенств (т.к. одиночное неравенство имеет вид (левая часть) (знак) (правая часть)), и непонятно, про какое из них вопросы.
(ну и где самостоятельные попытки его получить)

Мне не понятно.
$m!\le(a_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m-1)\cdot(m-1)!+b_m\cdot m!$
если $m!\le(a_m-b_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m-1)\cdot(m-1)!+m\cdot m!$тогда ясно.

[mihaild]

CliniqueHappy в сообщении #1353540 писал(а):

Мне не понятно.
$m!\le(a_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m-1)\cdot(m-1)!+b_m\cdot m!$

Так этого нигде и нет, это не требуется, и, вообще говоря, неверно.
В выражении

CliniqueHappy в сообщении #1353472 писал(а):

$m!\le(a_m-b_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m-1)\cdot(m-1)!=m!-1$

есть два неравенства и одно равенство. Какое / какие из них непонятно как обосновать?

[CliniqueHappy]

mihaild в сообщении #1353542 писал(а):

CliniqueHappy в сообщении #1353540 писал(а):

Мне не понятно.
$m!\le(a_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m-1)\cdot(m-1)!+b_m\cdot m!$

Так этого нигде и нет, это не требуется, и, вообще говоря, неверно.
В выражении

CliniqueHappy в сообщении #1353472 писал(а):

$m!\le(a_m-b_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m-1)\cdot(m-1)!=m!-1$

есть два неравенства и одно равенство. Какое / какие из них непонятно как обосновать?

Неверно $b_m$ не равно $m_m!$ тогда бы было правильно. Неясно как образуются первое и второе неравенство, с равенством все ясно.
Написано выбрать $a_i=0$ В левой части $m!$ как его получили?

[mihaild]

CliniqueHappy в сообщении #1353546 писал(а):

Неверно $b_m$ не равно $m_m!$ тогда бы было правильно

Я чисто грамматически не могу это прочитать.

CliniqueHappy в сообщении #1353546 писал(а):

Неясно как образуются первое и второе неравенство

Хорошо, давайте начнем с первого.
$m! \leqslant (a_m - b_m) \cdot m!$. Посмотрите внимательно на условия, которые вы написали в стартовом посте. Из них это неравенство получается в одно-два действия. Как?

[CliniqueHappy]

mihaild в сообщении #1353569 писал(а):

CliniqueHappy в сообщении #1353546 писал(а):

Неверно $b_m$ не равно $m_m!$ тогда бы было правильно

Я чисто грамматически не могу это прочитать.

CliniqueHappy в сообщении #1353546 писал(а):

Неясно как образуются первое и второе неравенство

Хорошо, давайте начнем с первого.
$m! \leqslant (a_m - b_m) \cdot m!$. Посмотрите внимательно на условия, которые вы написали в стартовом посте. Из них это неравенство получается в одно-два действия. Как?

По первому неравенству $m!\le(a_m-b_m)\cdot m!$ мне понятно, что оно верно, но непонятно как получается в левой части $m!$ на сколько я понимаю вследствие зануления $a_i$, но каким образом непонятно $a_i$ присутствуют в каждом слагаемом поэтому все выражение должно быть равно нулю вроде.

[mihaild]

CliniqueHappy в сообщении #1353580 писал(а):

но непонятно как получается в левой части $m!$

Что значит "как получается"?
Есть неравенство, оно либо верно, либо нет.
(как додуматься до такого доказательства - отдельный вопрос)

И цитируйте аккуратнее.

[CliniqueHappy]

mihaild в сообщении #1353581 писал(а):

CliniqueHappy в сообщении #1353580 писал(а):

но непонятно как получается в левой части $m!$

Что значит "как получается"?
Есть неравенство, оно либо верно, либо нет.
(как додуматься до такого доказательства - отдельный вопрос)

И цитируйте аккуратнее.

Извините. Но со вторым неравенством не понятно. Если к его правой части прибавить единицу, то получится $m!$ если разница между a и b единица тогда получается равенство, но как правая часть может быть больше???

[mihaild]

Никакого прибавления $1$ там не нужно, там нужно воспользоваться тем, что

CliniqueHappy в сообщении #1353472 писал(а):

$a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+\cdots+a_m\cdot m!=b_1\cdot1!+b_2\cdot2!+\cdots+b_m\cdot m!$

и

CliniqueHappy в сообщении #1353472 писал(а):

выбирая $a_i$ минимально возможными, то есть равными нулю, а $b_i$ максимально возможными, то есть равными i

Более точно, второе предложение следует понимать как получение оценки снизу на левую часть равенства и оценки сверху на правую часть. Напишите эти оценки явно.

(Оффтоп)

Правила форума допускают использование английского языка; если русский для вас не является родным, то, возможно, вам будет проще писать по-английски? На русском у вас, извините, всё плохо настолько, что сложно понять смысл.

[CliniqueHappy]

mihaild в сообщении #1353588 писал(а):

Напишите эти оценки явно.

$0\le(a_m-b_m)\cdot m!\le1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+(m)\cdot(m)!$

[mihaild]

Нет, не эти, а нижнюю оценку на левую часть и верхнюю на правую част равенства

CliniqueHappy в сообщении #1353472 писал(а):

$a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+\cdots+a_m\cdot m!=b_1\cdot1!+b_2\cdot2!+\cdots+b_m\cdot m!$

[CliniqueHappy]

mihaild в сообщении #1353596 писал(а):

$0\cdot1!+0\cdot2!+\cdots+0\cdot m!< 1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+m\cdot m!$