Задача из учебника Сивухина

[SNet]

Тонкий стержень длиной $L$ вращается вокруг одного из концов, описывая круговой конус (физический конический маятник). Найти период движения $T$ в зависимости от угла при вершине конуса $2\varphi$.

Перейдём в систему отсчёта, которая вращается с угловой скоростью $\omega = \frac{2\pi}{T}$ и начало которой расположено на оси конуса. В ней стержень покоится. Следовательно, из сил инерции на него действует только центробежная сила инерции. Найдём её. Введём координатную ось $Ox$ вдоль стержня с началом в конце, вокруг которого он вращается, и выделим его элемент длиной $dx$. На него действует центробежная сила $dF = dm\omega^2xsin\varphi = \frac{m\omega^2\sin\varphi}{L}xdx$. Интегрируя от 0 до $L$, получаем полную силу, действующую на стержень
$F = \frac{m\omega^2\sin\varphi}{2L}$. Из условия равновесия получаем $F\cos\varphi = mg\sin\varphi$, откуда $T = 2\pi \sqrt\frac{2L\cos\varphi}{g}$.

Ответ же к задаче $T = 2\pi \sqrt\frac{2L\cos\varphi}{3g}$. Что я не учёл?

[Mihr]

А что Вы принимаете за плечо центробежной силы? В этом тоже надо разбираться.
Лучше посчитайте интеграл не для центробежной силы, а сразу для её момента, тогда вряд ли ошибётесь.

[SNet]

Mihr
Расстояние до оси вращения $x\sin\varphi$

Mihr в сообщении #1353109 писал(а):

Лучше посчитайте интеграл не для центробежной силы, а сразу для её момента, тогда вряд ли ошибётесь.

И всё же хотелось бы разобраться, где я здесь промахнулся.

[Mihr]

Если Вы пишете условие равновесия сил, то нужно учесть, что на стержень действуют три силы (включая силу реакции в точке подвеса).
Проще считать для моментов сил: момент третьей силы обращается в ноль.

SNet в сообщении #1353110 писал(а):

Расстояние до оси вращения $x\sin\varphi$

Это непонятно. Величина $x$ - переменная. А силу Вы уже оформили в виде интеграла. Что дальше-то делать?

[SNet]

Mihr

Mihr в сообщении #1353111 писал(а):

Если Вы пишете условие равновесия сил, то нужно учесть, что на стержень действуют три силы (включая силу натяжения в точке подвеса).
Проще считать для моментов сил: момент третьей силы обращается в ноль.

Я писал условие равновесия в проекции на касательную к окружности радиусом $\frac{L}{2}$ и с центром в точке подвеса.

Mihr в сообщении #1353111 писал(а):

Это непонятно. Величина $x$ - переменная. А силу Вы уже оформили в виде интеграла. Что дальше-то делать?

То было плечо для дифференциала силы. Для результирующей силы будет плечо длиной $\frac{L}{2}$, которое отмечено на рисунке.

[Mihr]

SNet в сообщении #1353112 писал(а):

Я писал условие равновесия

Условие равновесия чего? Сил? Так ведь для разных фрагментов стержня равновесие наступило бы при разных значениях угла, образуемого стержнем с вертикалью. Вы это как-то учитывали?
Всё-таки, если хотите просто и ясно решить задачу, приравняйте лучше модули моментов силы тяжести и центробежной силы. Второй из них вычисляется через интеграл, а первый можно написать и без интеграла, полагая, что вектор силы тяжести приложен к центру масс стержня.

-- 10.11.2018, 19:50 --

P.S. Или Вы полагали, что и за точку приложения центробежной силы можно принять центр масс? Если так, то Ваша ошибка именно в этом.

[SNet]

Mihr в сообщении #1353115 писал(а):

Условие равновесия чего?

Центра масс.

Mihr в сообщении #1353115 писал(а):

Или Вы полагали, что и за точку приложения центробежной силы можно принять центр масс?

Это неверно, согласен. Но всё же в моей попытке решения это никак не учитывается. Вроде... Такое ощущение, что я не понимаю чего-то очевидного.

[Ascold]

SNet в сообщении #1353112 писал(а):

То было плечо для дифференциала силы. Для результирующей силы будет плечо длиной $\frac{L}{2}$, которое отмечено на рисунке.

Почему? Поле тяжести однородно, поэтому силу тяжести прикладываем к центру масс. Поле центробежных сил неоднородное, поэтому её к центру масс приложить не факт что можно. Лучше так - интегрируйте не центробежную силу, а момент центробежной силы как сумму её моментов, действующих на бесконечно малые участки стержня.
Или Вы же не моменты считаете, а силы - силу реакции в точке закрепления стержня не учли, стержень не может вращаться, не будучи закреплённым у верхнего конца.

[SNet]

Ascold в сообщении #1353121 писал(а):

Почему?

Я уже согласился, что это ошибка. Но в решении это никак не учитывается.

Ascold в сообщении #1353121 писал(а):

Или Вы же не моменты считаете, а силы - силу реакции в точке закрепления стержян не учли.

Она разве имеет компоненту вдоль касательной к той окружности?

[Mihr]

Что значит "условие равновесия центра масс"? Поясните. Можно говорить о равновесии сил, можно - о равновесии моментов сил. Я и спрашивал о выборе между этими двумя вариантами. В таком контексте ответ "условие равновесия центра масс", извините, бессмыслен.
Но судя по Вашему рисунку, Вы приложили именно к центру масс центробежную силу инерции. Отсюда и ошибка.

-- 10.11.2018, 20:08 --

SNet в сообщении #1353123 писал(а):

Но в решении это никак не учитывается.

Как же не учитывается? А как тогда Вы складываете силы, приложенные к разным точкам?

[Ascold]

SNet в сообщении #1353123 писал(а):

Она разве имеет компоненту вдоль касательной к той окружности?

Может иметь, если стержень, к примеру, закреплён в шарнире, который не пускает точку закрепления вверх-вниз и влево-вправо, она не обязана быть направленной непременно вдоль стержня(стержень - не невесомая и гибкая нитка), поэтому чтобы её не вычислять, лучше моменты.

[SNet]

Mihr
По теореме о движения центра масс, $\frac{d\vec P}{dt} = \vec F$, где $\vec P$ - импульс центра масс, $\vec F$ - геометрическая сумма всех внешних сил, действующих в системе. В выбранной мной вращающейся системе отсчёта этот вот центр масс покоится, то есть $\vec F = \vec 0$. Это я и назвал условием равновесия центра масс. Далее я спроецировал это уравнение на ту касательную.

Mihr в сообщении #1353124 писал(а):

А как тогда Вы складываете силы, приложенные к разным точкам?

Согласен, учитывается. Я это сделал в интеграле.

[Ascold]

Почитайте дискуссию про направление $\mathbf{N}$, это почти в точности Ваш случай. post1170957.html

[Mihr]

SNet,
пожалуйста, попробуйте дальше сами. По-моему, уже должно быть всё ясно. Чтобы воспользоваться условием равновесия сил, нужно рассматривать все три силы. Вам это уже объяснили. Куда проще было бы приравнять моменты двух сил. Если же Вы хотите непременно сделать по-своему, попробуйте написать условие равновесия сил заново, включив в него третью силу.

[SNet]

Mihr
То есть я не учёл силу реакции. Ну тогда понятно, да. Я просто отвечал на ваши вопросы об уравнении. Спасибо всем!

Ascold
Отдельное спасибо.