Шарнирно закрепленный стержень

[stedent076]

Однородный стержень массы $m$, шарнирно укреплен за один конец и удерживается нитью за другой конец. Стержень образует с горизонталью угол $\alpha$. Найти силу реакции шарнира $F$.
По третьему закону сила реакции шарнира равна силе давления на него стержня.

Cила натяжения нити из правила моментов равна $T=\dfrac{mg}{2\tg\alpha}$
В проекциях на ось y:
$T\cos\alpha-mg\sin\alpha+N=0$
$N=mg\sin\alpha-T\cos\alpha$
$N=mg\sin\alpha-\dfrac{mg}{2\tg\alpha}\cos\alpha$
Но в задачнике ответ $N=\dfrac{mg}{2\tg\alpha}\sqrt{1+4\tg^2{\alpha}}$
Подскажите, где ошибка?

[warlock66613]

А что такое $\vec N$, и почему она у вас направлена вдоль стержня?

[stedent076]

warlock66613
$\vec{N}$ – сила реакции шарнира. Направлена вдоль, потому что по оси $y$ действует сила давления стержня. Или нет?

[warlock66613]

Представьте, что стержен горизонтален, а его свободный конец удерживается нитью, прикрелённой к потолку. Куда будет направлены сила реакции шарнира и сила давления стержня?

[stedent076]

warlock66613
Обе будут направлены перпендикулярно поверхности шарнира, только в разные стороны.

[warlock66613]

stedent076, я не понял что такое "поверхность шарнира", и какое направление в пространстве ей перпендикулярно.

[stedent076]

warlock66613
Шарнир – это ведь металлическая сфера. Так вот, его поверхность - поверхность сферы.

[warlock66613]

stedent076 в сообщении #1170989 писал(а):

Шарнир – это ведь металлическая сфера.

Ага. Q: Куда направлена сила? A: Она перпендикулярна поверхности сферы.

Универсальный ответ, однако: ведь нет такого направления, которое не было бы перепендикулярно поверхности сферы!

-- 23.11.2016, 01:52 --

Кстати, почему обязательно металлическая и почему обязательно сфера? Если две палки связать короткой верёвкой — тоже будет шарнирное соединение.

[DimaM]

stedent076 в сообщении #1170957 писал(а):

В проекциях на ось y:
$T\cos\alpha-mg\sin\alpha+N=0$

А в проекциях на горизонталь и вертикаль что?
Как выше уже верно заметили, лучше не задавать заранее направление $N$, а записать ее компоненты.

[wrest]

stedent076 в сообщении #1170957 писал(а):

По третьему закону сила реакции шарнира равна силе давления на него стержня.

Это справедливо, но неверно применено.

Нить тянет стержень влево, а шарнир этому мешает.
Сила тяжести тянет стержень вниз, а шарнир этому мешает.
Из этих "мешающих" сил и складывается сила реакции шарнира.

[stedent076]

DimaM

DimaM в сообщении #1171041 писал(а):

А в проекциях на горизонталь и вертикаль что?

На горизонталь:
$-T+N\cos\alpha=0$
На вертикаль:
$-mg+N\sin\alpha=0$


warlock66613

warlock66613 в сообщении #1170972 писал(а):

Куда будет направлены сила реакции шарнира и сила давления стержня?

[DimaM]

stedent076 в сообщении #1171096 писал(а):

На горизонталь:
$-T+N\cos\alpha=0$
На вертикаль:
$-mg+N\sin\alpha=0$

Отсюда $N=\,?$

По вашему следующему рисунку: а это ничего, что на покоящийся стержень действует единственная горизонтальная сила $N$?

[stedent076]

DimaM

DimaM в сообщении #1171107 писал(а):

Отсюда $N=\,?$

$N=\dfrac{mg}{\sin\alpha}$

DimaM в сообщении #1171107 писал(а):

По вашему следующему рисунку: а это ничего, что на покоящийся стержень действует единственная горизонтальная сила $N$?

А какие еще горизотнальные силы на него действуют?

[DimaM]

stedent076 в сообщении #1171143 писал(а):

$N=\dfrac{mg}{\sin\alpha}$

Не удовлетворяет второму уравнению.
Попробуйте записать компоненты $N$, не задавая заранее направления.

stedent076 в сообщении #1171143 писал(а):

А какие еще горизотнальные силы на него действуют?

Ну вот мне и странно: действует одна горизонтальная сила, а стержень тем не менее находится в покое. Такое разве возможно?
Или если уравнение моментов относительно центра масс записать - опять нуль не получается.

[Erleker]

Правильно, $N$ ни в коем случае не направлено по стержню (в случае с горизонтальным расположением оно будет строго вверх и равно $T$), хоть вам почем-то это показалось "интуитивно"(возможно, вы рассуждали, что на шарик в шарнире не может действовать компонента ,направленная по касательной, чтобы он не вращался, но это не обязательно так(нарисуйте на него тоже все возможные силы и их точки приложения и сами поймете)).
Запишите $N$ как $N_x,N_y$ (даже ответ с корнем "какбынамекает") и составьте систему из 3 уравнений: уравнение моментов относительно любой точки (удобно взять нижнюю) и закон ньютона в каждой проекции.

И вообще, в задачах со всякими стержнями, где силы имеют разные точки приложения всегда нужно использовать уравнения для моментов, один лишь 1-й закон ньютона не определяет всю ситуацию, а говорит лишь о том, что покоится центр масс.Если же вы решили ( и кол-ва переменных хватило), использую только ньютона, то такое решение точно не будет правильным.