Как выводится выражение для силы Лоренца?

[Munin]

Kiev в сообщении #1352526 писал(а):

Пробовал искать в литературе сам, но везде пишут что сила Лоренца, он же закон Ампера, это эмпирические соотношения, так ли это?

Не везде.

Во-первых, сила Лоренца выводится из закона Ампера. Это если исторически.

Во-вторых, всё это можно вывести из действия для электромагнитного поля (которое в свою очередь исторически обобщение эмпирических данных). Например, Ландау, Лифшиц. Теория поля:

$$\begin{gathered}S=S_\text{частиц}+S_\text{взаимодействия}+S_\text{поля}={} \\ {}=-\sum\int mc\,ds-\sum\int\dfrac{e}{c}A_\mu dx^\mu-\dfrac{1}{16\pi c}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}d\Omega={} \\ {}=-\sum\int mc\,ds-\dfrac{1}{c^2}\int A_\mu j^\mu d\Omega-\dfrac{1}{16\pi c}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}d\Omega, \end{gathered}$$

что одно и то же с точностью до переобозначения

$$\rho=\sum_a e_a\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_a),\qquad\mathbf{j}=\sum_a e_a\mathbf{v}_a\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_a),\qquad j^\mu=(c\rho,\mathbf{j}).$$

Варьируя это действие по движению одной заряженной частицы, получаем

$$\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=-\dfrac{e}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-e\operatorname{grad}\varphi+\dfrac{e}{c}[\mathbf{v}\operatorname{rot}\mathbf{A}]=e\mathbf{E}+\dfrac{e}{c}[\mathbf{vH}],$$

где вся правая часть возникает из варьирования $S_\text{взаимодействия}.$ Деление её (силы, действующей на заряд) на кулоновскую и лоренцевскую части условно, и зависит просто от того, что одно слагаемое постоянно по $\mathbf{v},$ а другое - линейно по $\mathbf{v}.$

С другой стороны, варьируя это же действие по "движению" потенциалов поля, получаем

$$\operatorname{rot}\mathbf{H}-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j},\qquad \operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho,$$

то есть, вторую пару уравнений Максвелла (первая - просто следствие определение поля через потенциал). Здесь правая часть, если записать уравнения в таком виде, также целиком возникает из варьирования $S_\text{взаимодействия}.$

Так что, нельзя сказать, что сила Лоренца выводится из уравнений Максвелла, но в то же время она однозначно связана с уравнениями Максвелла, так что их нельзя было бы поменять как-то по отдельности, несогласованно друг с другом. Эта взаимосвязь аналогична Третьему закону Ньютона: воздействие заряда на поле взаимно однозначно связана с воздействием поля на заряд. (На языке теоретической механики, и то и другое является обобщённой силой, действующей на подсистему: в одном случае на заряженную частицу, в другом - на поле как целое.)

-- 09.11.2018 10:25:46 --

Странно, что вам посоветовали § 24. К первоначальному вопросу это не относится.
Я в своём сообщении использовал §§ 16,17,26,27,28,30.

[Kiev]

Munin,
Спасибо за развёрнутый ответ про связь силы Лоренца с уравнениями Максвелла и вывод самой силы.

Munin в [url=/post1352815.html#p1352815]сообщении #1352815[/url] писал(а):

Kiev в сообщении #1352526 писал(а):

Странно, что вам посоветовали § 24. К первоначальному вопросу это не относится.
Я в своём сообщении использовал §§ 16,17,26,27,28,30.

В скрытом виде сила Лоренца уже содержится в $ S_\text{взаимодействия} $.

Также в параграфе § 24, показывается связь между $ E $ и $ H $.
Просто мне представлялось проще, если формально умножить заряд $ e $ на $ E $, то получим аналог силы Лоренца действующую на заряд в однородном магнитом поле.

$$ \mathbf{ F } = - \dfrac{e}{c}[\mathbf{vH}] $$

ЛЛ2 - § 24 - (24,6)

[Ascold]

Ещё вариант: вот 4-сила $F=dP/d\tau=mdu/d\tau,$ где $P$ - 4-импульс, u- 4-скорость, а $\tau$ - собственное время. Как известно, $u\cdot du/d\tau=0,$ следовательно $u\cdot F=0,$ причём вне зависимости от скорости. Это намекает на то, что 4-сила и 4-скорость не независимы. Предположим, что (простейшее) $F=\alpha u,$ тогда придём к противоречию - тогда $u\cdot F =\alpha u^2\neq 0.$ Сила и скорость -векторы, значит, связь между ними, скорее всего, всё-таки линейна, но в более общем, тензорном виде: $F=eT\cdot u,$ или в компонентах

$$F^\mu=eT^{\mu\nu}u_{\nu},$$

что влечёт за собой

$$F^\mu u_\mu=eT^{\mu\nu}u_{\nu}u_\mu=0,$$

если тензор $T$ антисимметричен. Вспоминаем, что мы ищем силу взаимодействия частицы с электромагнитным полем, а оно характеризуется как раз антисимметричным тензором $T^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$. 4-сила, как всегда,

$$F=\{N/\sqrt{1-v^2/c^2}, \quad \mathbf{f}/\sqrt{1-v^2/c^2 }\},$$

поэтому, взяв её пространственную часть и расписав тензор поля, получите в итоге то, что надо.
Конечно, это не совсем вывод - но и когда пишут действие

$$S_\text{взаимодействия}=-\sum\int\frac{e}{c} A_\mu dx^\mu,$$

линейный характер этого члена постулируют(зная, конечно, "ответ" - ур-я Максвелла при наличии зарядов и токов), об этом Munin Вам подробно написал.

[Theoristos]

Вообще, задачка забавна тем, что ответ можно получить и из уравнений Максвелла, но если отнестись к источникам без строгой внимательности - наполучать можно чёрти-что.

-- Пт ноя 09, 2018 19:50:09 --

Munin в сообщении #1352815 писал(а):

Странно, что вам посоветовали § 24. К первоначальному вопросу это не относится.

Я понял так, что автора вопроса больше заинтересовала не сама сила Лоренца, а внезапное появление электрического поля на удивление подходящей величины при смене системы отсчета.

А поиска выражения для самой силы Лоренца довольно скучное занятие. И требующее опоры на действие, или "интуитивно очевидные предположения".

[Kiev]

Ascold в [url=/post1352852.html#p1352852]сообщении #1352852[/url] писал(а):

Ещё вариант: вот 4-сила $F=dP/d\tau=mdu/d\tau,$ где $P$ - 4-импульс, u- 4-скорость, а $\tau$ - собственное время. Как известно, $u\cdot du/d\tau=0,$ следовательно $u\cdot F=0,$ причём вне зависимости от скорости. Это намекает на то, что 4-сила и 4-скорость не независимы. Предположим, что (простейшее) $F=\alpha u,$ тогда придём к противоречию - тогда $u\cdot F =\alpha u^2\neq 0.$ Сила и скорость -векторы, значит, связь между ними, скорее всего, всё-таки линейна, но в более общем, тензорном виде

Ход мыслей интересный, но фраза "что скорее всего связь между скоростью и ускорением линейна" это напоминает эвристику.
Наверное всегда есть тензор, взаимосвязь по которому линейна, но в более общем случае.
Если я правильно понял, то скалярное произведение скорости на ускорение и в случае силы Лоренца равно нулю, а вот скорость и ускорение силы Кулона, не равно, оба эти случая зашиты в тензор ЭМ-поля.
И при записи действия этого тензора на 4-скорость, запись линейна.
Антисимметричный тензор это аналог векторного произведения, и даёт скалярное произведение не равное нулю.

-- 09.11.2018, 21:43 --

Theoristos в [url=/post1352937.html#p1352937]сообщении #1352937[/url] писал(а):

Вообще, задачка забавна тем, что ответ можно получить и из уравнений Максвелла.

Я так понял что из уравнений Максвелла получить силу Лоренца нельзя, её можно получить только из преобразований Лоренца.

Theoristos в [url=/post1352937.html#p1352937]сообщении #1352937[/url] писал(а):

Munin в сообщении #1352815 писал(а):

Странно, что вам посоветовали § 24. К первоначальному вопросу это не относится.

Я понял так, что автора вопроса больше заинтересовала не сама сила Лоренца, а внезапное появление электрического поля на удивление подходящей величины при смене системы отсчета.

А поиска выражения для самой силы Лоренца довольно скучное занятие. И требующее опоры на действие, или "интуитивно очевидные предположения".

Для меня появления электрического поля удивлением не было, и про относительность полей между ИСО я знал. А вот про вывод этой относительности, действительно сильно забыл.

Спасибо всем участникам помогли вспомнить.

[Munin]

Kiev в сообщении #1352960 писал(а):

Я так понял что из уравнений Максвелла получить силу Лоренца нельзя, её можно получить только из преобразований Лоренца.

Шаманство какое-то. Там, кажется, даже Лоренцы разные.

[Ascold]

Kiev в сообщении #1352960 писал(а):

Ход мыслей интересный, но фраза "что скорее всего связь между скоростью и ускорением линейна" это напоминает эвристику.
Наверное всегда есть тензор, взаимосвязь по которому линейна, но в более общем случае.
Если я правильно понял, то скалярное произведение скорости на ускорение и в случае силы Лоренца равно нулю, а вот скорость и ускорение силы Кулона, не равно, оба эти случая зашиты в тензор ЭМ-поля.
И при записи действия этого тензора на 4-скорость, запись линейна.

Здесь речь идёт о любой 4-силе, действующей на частицу. Силу Кулона и силу Лоренца не разделяем - в этом подходе они дают единую электромагнитную силу - попробуйте проделать выкладки, на которые я указал, увидите сами, если не получится что-то - напишите сюда.
Что касается линейности - мы говорим о том, что четыре-сила является некой функцией 4-скорости, ну и свойств самой частицы.

Kiev в сообщении #1352960 писал(а):

Антисимметричный тензор это аналог векторного произведения, и даёт скалярное произведение не равное нулю.

С одним вектором - не равное нулю, с двумя - как раз-таки равное нулю. Только всё-таки не аналог векторного произведения, а скалярное в чистом виде.
Ненулевой, абсолютно антисимметричный тензор бывает в пространстве любой размерности(не меньшей, чем его ранг), тогда как векторное произведение - лишь в 3-мерном пространстве.
Здесь же речь шла вот о чём: свёртка любого симметричного объекта $P$ с антисимметричным $T$ даёт тождественный нуль:

$$T^{ik}P_{ik}=T^{ik}P_{ki}=-T^{ki}P_{ki}=-T^{ik}P_{ik}=0,$$

поэтому

$$T^{ik}u_iu_k=0$$

безо всяких векторных произведений - для нулёвости этой свёртки $T$ и $u$ могут даже не быть тензорами(если не требовать инвариантности к координатным преобразованиям, определяющим геометрию данного пространства).
Ваше сомнение, почему сила д.б. непременно $F=eT\cdot u,$ оправдано, но попробуйте сами придумать, как сила должна зависеть от скорости иначе, чтобы было $F\cdot u=0$ при любых $u$, увидите, что $u$ линейным образом д.б. в $F$, т.е. в более общем случае $F^k=\alpha(u^iu_i,e)T^{kl}u_l=\alpha(1,e)T^{kl}u_l,$ т.е. $\alpha$ - не функция скорости(если определять 4-скорость дифференцируя по собственному времени, а не по интервалу, то будет тоже константа $u^iu_i=c^2$), а зависеть $\alpha$ может лишь от инварианта типа $u^iu_i$, а не просто от $u^i,$ иначе сила не будет вектором.

Кстати, Вы тензоры в пространстве Евклида и Минковского знаете? Их нужно изучить прежде, чем погружаться в теорию относительности с электродинамикой.