2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение05.11.2018, 14:58 
Аватара пользователя


07/10/18
20
Теорема Равенство $a^3 +b^3 = c^3$ не выполняется для натуральных $a, b, c$.
Доказательство проводим методом от противного:
пусть $a^3 +b^3 = c^3$, где $a, b, c$ – взаимно простые числа.
Лемма Числа $c$ - $b$, $c$$a$ не могут одновременно равняться единице.
Пусть число $c$ - $b$ не равно единице.
Преобразуем исходное равенство к виду
$a^3=c^3-b^3$;
$a^3 = (c - b)(( c - b)^2 + 3bc)$; (1)
$a^3 =(c - b)^3 + 3bc(c - b)$; (2)
$a^3 -(c - b)^3 = 3bc(c - b)$; (3)
$(a -(c - b))(( a -(c - b))^2 +3a(c - b)) = 3bc(c - b)$. (4)
Рассмотрим два случая:
1) Пусть $c - b$ не кратно $3$, $a = a_1 a_2$, где $a_1 ,a_2$ взаимно простые числа.
Поскольку числа $b, c, c - b, ( c - b)^2 + 3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что $c - b = a_1^3$. (5)
Из равенства (4) следует, что левая часть кратна числу $c - b$ или выражение $a -(c - b)$ кратно $c - b$, откуда следует, что $a$ кратно $c - b$.
Учитывая (5), получаем, что $a $ или $a_1 a_2$ кратно $a_1^3$, что невозможно.
2) Пусть $c - b$ кратно $9,  a = 3a_1 a_2$, где $ 3,a_1 ,a_2 $ взаимно простые числа.
Тогда из равенства (1) следует, что $c - b = 9a_1^3$. (6)
Из равенства (4) следует, что $a$ кратно $c - b$.
Учитывая (6), получаем, что $ a$ или $3a_1 a_2$ кратно $9a_1^3$, что невозможно.

При рассмотрении двух возможных случаев пришли к противоречию
Значит, предположение, что исходное равенство выполняется, неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение05.11.2018, 17:32 


05/07/18
159
Из далекой-далекой галактики.
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
$a = a_1 a_2$, где $a_1 ,a_2$ взаимно простые числа.

А вдруг $a$ -- это степень простого числа ,тогда не найдется $a_1$ и $a_2$ взаимно простых таких что $a_1a_2=a$
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
$a = 3a_1 a_2$, где $ 3,a_1 ,a_2 $ взаимно простые числа.

А вдруг $a$ некратно трем. Разберитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение05.11.2018, 17:46 


13/05/16
131
Ioda в сообщении #1351925 писал(а):
А вдруг $a$ -- это степень простого числа

Тут уже обсуждалось и показывалось с помощью формул Абеля,что $a,b,c$ не являются степенями простых чисел. Этот случай можно отбросить

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение05.11.2018, 18:02 


05/07/18
159
Из далекой-далекой галактики.
Antoshka в сообщении #1351928 писал(а):
Тут уже обсуждалось и показывалось с помощью формул Абеля,что $a,b,c$ не являются степенями простых чисел. Этот случай можно отбросить

Ну ок. Это не снимает второго вопроса.
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
Поскольку числа $b, c, c - b, ( c - b)^2 + 3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что $c - b = a_1^3$. (5)

Объясните пожалуйста следствие . Или не может быть такого ,что не найдется у $a$ таких пар $a_1$ и $a_2$ ,что $c-b=a_1^3$ при заданных $b$ и $c$ или при заданном $a$?
Это третий вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение05.11.2018, 18:20 


13/05/16
131
Ioda в сообщении #1351932 писал(а):
Объясните пожалуйста следствие . Или не может быть такого ,что не найдется у $a$ таких пар $a_1$ и $a_2$ ,что $c-b=a_1^3$ при заданных $b$ и $c$ или при заданном $a$?
Это третий вопрос.

Это и есть одна из формул Абеля, которая тут тоже неоднократно упоминалась

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение05.11.2018, 18:37 


05/07/18
159
Из далекой-далекой галактики.
Antoshka в сообщении #1351941 писал(а):
Это и есть одна из формул Абеля, которая тут тоже неоднократно упоминалась

Ну хорошо. Второй вопрос так и не снят.
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
При рассмотрении двух возможных случаев пришли к противоречию

А почему не может быть других случаев? Понятно ,что вы проверяли случаи делимости на 3 ,неделимости на 3 ,но хотелось бы убедиться ,что этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение05.11.2018, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
$a = a_1 a_2$, где $a_1 ,a_2$ взаимно простые числа
Ничего, что таких пар взаимно простых $a_1$ и $a_2$ может быть много разных?

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
Поскольку числа $b, c, c - b, ( c - b)^2 + 3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что $c - b = a_1^3$. (5)
Никоим образом не следует. Ввиду предыдущего замечания. Это должно быть сформулировано совсем другими словами. Вы хотите здесь формулы Абеля вывести? Можно было бы ограничиться тем, что их написать. И для случая, когда взаимно простые числа $a,b,c$ не делятся на $3$, и для случая, когда одно из них делится на $3$.

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
Из равенства (4) следует, что левая часть кратна числу $c - b$
Естественно.
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
или выражение $a -(c - b)$ кратно $c - b$
А это ещё с какой стати? Предъявите доказательство.

Замечания ко второму пункту аналогичные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение06.11.2018, 11:44 
Аватара пользователя


07/10/18
20
1) Так как $c-b $ не равно единице и $c-b, (c-b)^2+3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что число $ a$ можно представить в виде произведения $a=a_1a_2$, где $a_1, a_2$ взаимно простые числа.
2) В равенстве (1), если $ c-b$ кратно 3, то правая часть этого равенства становится кратной 9 после вынесения тройки за скобку. Но поскольку в левой части равенства находится третья степень, то делаем вывод: $a=3a_1a_2,$ после чего следует, что $c-b=9a_1^3$.
3) Случай делимости на 3 рассматривается из-за того, что равенство (1) содержит утроенное произведение. Все остальные случаи входят в первый случай.
4) Да, случаев, когда $a_1, a_2$ являются взаимно простыми, может быть много. От этого каркас доказательства не меняется.
5) Так как числа $c-b$ и $(c-b)^2+3bc $(случай, когда $c-b$ не кратно 3) взаимно простые, а равенство (1) в левой части содержит третью степень, то эти числа являются множителями числа $a $ третьей степени. Из чего следует, что $c-b=a_1^3$.
6) Если $a$ не кратно $c-b$, то $a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Тогда в равенстве (4) выражение в скобках не кратно $c-b$. Отсюда следует, что вся правая часть равенства не делится на $c-b,$ что приводит к неравенству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение06.11.2018, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
glafira krinner в сообщении #1352115 писал(а):
6) Если $a$ не кратно $c-b$, то $a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Тогда в равенстве (4) выражение в скобках не кратно $c-b$. Отсюда следует, что вся правая часть равенства не делится на $c-b,$ что приводит к неравенству.
Неверно. $a$ и $c-b$ не являются взаимно простыми, поэтому в равенстве
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
$(a -(c - b))(( a -(c - b))^2 +3a(c - b)) = 3bc(c - b)$. (4)
второй множитель в левой части тоже не является взаимно простым с $c-b$. Поэтому $a$ не делится на $c-b$.

P.S. Равенство (4) написано неправильно. Нет, всё в порядке. Как-то не так я его воспринял.
P.P.S. Остальное не смотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение07.11.2018, 10:45 
Аватара пользователя


07/10/18
20
Спасибо за вопросы. Жду новых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение07.11.2018, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
glafira krinner в сообщении #1352300 писал(а):
Жду новых.
По правилам форума, на вопросы надо отвечать, не дожидаясь новых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение07.11.2018, 16:17 
Аватара пользователя


07/10/18
20
Непонятно, на какой вопрос надо отвечать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение07.11.2018, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
По поводу ошибки в вашем шестом пункте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение08.11.2018, 15:12 
Аватара пользователя


07/10/18
20
Someone в сообщении #1352446 писал(а):
По поводу ошибки в вашем шестом пункте
.

Лемма. Если $y$ кратно $z$, а $x$ не кратно $z$, то $x$\pm$y$ не кратно $z$.

Утверждение. В равенстве (4) $a$ кратно $c-b$.
Доказательство проводим методом от противного: предположим, что $a$ не кратно $c-b$. Тогда, согласно Лемме,$ a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Далее, согласно Лемме, $(a-(c-b))^2+3a(c-b)$ не кратно $ c-b$. Получили, что левая часть равенства (4) не делится на $c-b.$ Противоречие. Значит, $a$ кратно $c-b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3
Сообщение08.11.2018, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
glafira krinner в сообщении #1352650 писал(а):
Утверждение. В равенстве (4) $a$ кратно $c-b$.
Доказательство проводим методом от противного: предположим, что $a$ не кратно $c-b$. Тогда, согласно Лемме,$ a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Далее, согласно Лемме, $(a-(c-b))^2+3a(c-b)$ не кратно $ c-b$. Получили, что левая часть равенства (4) не делится на $c-b.$ Противоречие. Значит, $a$ кратно $c-b$.
Someone в сообщении #1352188 писал(а):
glafira krinner в сообщении #1352115 писал(а):
6) Если $a$ не кратно $c-b$, то $a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Тогда в равенстве (4) выражение в скобках не кратно $c-b$. Отсюда следует, что вся правая часть равенства не делится на $c-b,$ что приводит к неравенству.
Неверно. $a$ и $c-b$ не являются взаимно простыми, поэтому в равенстве
glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):
$(a -(c - b))(( a -(c - b))^2 +3a(c - b)) = 3bc(c - b)$. (4)
второй множитель в левой части тоже не является взаимно простым с $c-b$. Поэтому $a$ не делится на $c-b$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group