Требуется помощь в доказательстве теоремы в теории групп.

[theblackbear]

Здравствуйте, есть теорема. Звучит следующим образом:
Для множества М с ассоциативной операцией равносильны следующие утверждения:
1) $(M, \cdot)$ - группа;
2) Для любой пары $a, b \in M$ каждое из уравнений $ax=b$ и $xa=b$ имеет единственное решение;
3) Для любой пары $a, b \in M$ каждое из уравнений $ax=b$ и $xa=b$ имеет по крайней мере одно решение.
Что я уже сделал:
Сначала возник вопрос в том, что такое равносильность утверждений. Как я понял: это значит что из каждого вытекает каждое. То есть:

из утв. 1 вытекает утв. 2 и утв. 3,
из утв. 2 вытекает утв. 1 и утв. 3,
из утв. 3 вытекает утв. 2 и утв. 1.

Значит нужно рассмотреть три случая.
Первый случай выполняется по определению группы(см. Курош А.Г. "Теория групп).
Дальше затруднения:
Во втором случае: Как из "единственное" перейти к "по крайней мере одно"?
В третьем случае: Как из "по крайней мере одно" перейти к "единственное"?
И не эквивалентны ли они.
Дальше просто выведу в обоих случаях наличие единичного элемента, и следовательно утв. 1. Но эти два вопроса не дают мне покоя. Прошу помощи

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

theblackbear в сообщении #1351624 писал(а):

Во втором случае: Как из "единственное" перейти к "по крайней мере одно"?

Что, правда-правда не знаете?

[SomePupil]

theblackbear в сообщении #1351624 писал(а):

Во втором случае: Как из "единственное" перейти к "по крайней мере одно"?

Этот единственный по крайней мере один, не так ли?

[arseniiv]

Может, не хватало пары очевидных вещей, вот они:

theblackbear в сообщении #1351624 писал(а):

И не эквивалентны ли они.

Непосредственно — конечно нет. «Единственный» — это ровно один, не больше и не меньше, а «по крайней мере один» — это один или больше, то есть просто существование. Ещё можно добавить, что единственность объекта с выбранным свойством доказывается обычно одинаково: мы берём две произвольные штуки, обладающие этим свойством, и показываем их равенство.

[theblackbear]

Я не был до конца уверен, так как казалось, что есть какая нибудь загвоздка. Спасибо за то, что натолкнули на верные мысли в, надеюсь, верном направлении.

-- 05.11.2018, 19:49 --

arseniiv
Спасибо. Я искал подвох там, где его нет. Вы показали мне то, что я упустил