не могу вывести предельный угол упругого рассеяния

[@and]

Здравствуйте. Изучаю упругие столкновения. Рассматриваемая система: частица с массой $m_1$, полной энергией $E$ и начальным импульсом $p$ налетает на покоящуюся частицу массой $m_2$. Книжка Бальдин, Гольданский, Розенталь "Кинематика ядерных реакций" параграф 4 "Релятивистские преобразования углов и импульсов" формула (4.1), а лучше Ландау Лифшиц Том 1 "Механика" параграф 16 "Распад частиц" формула (16.5) даёт связь между углами вылета в лабораторной и центра масс системах координат:

$$\tg(\theta_{ls})=\cfrac{v_0\cdot \sin{\theta_{cm}}}{v_0\cdot \cos{\theta_{cm}}+V}$$

(1)
Здесь V - скорость движения центра масс, $v_0$ - скорость 1-ой (с $m_1$) частицы в системе центра масс.
Также известно, что при $m_1\geq m_2$

$$\sin(\theta_{ls})\leq \frac{m_2}{m_1}$$

(2)
(например, Ландау Лифшиц Том 2. Теория поля. параграф 13 формула (13.4)). Вообще-то про это везде написано и везде приведен вывод этого соотношения на основе законов сохранения импульса и энергии.
Но мне нужно получить (2) из (1) при $m_1 \geq m_2$.
1) Нахожу производную правой части (1) по $\theta_{cm}$. Приравниваю её нулю. Получается

$$1+\cos(\theta_{cm})\cdot V/v_0=0$$

$$C=V/v_0$$

2) Далее, нахожу, что

$$\sin(\theta_{\max}^{cm})=v_0/V. $$

Пояснение:

$$\cos(\theta_{\max}^{cm})=-v_0/V=-1/C \Rightarrow \sin(\theta_{\max}^{cm})=\sqrt{1-(v_0/V)^2}=\sqrt{1-1/C^2}=1/C\cdot \sqrt{C^2-1} \Rightarrow $$

согласно (1)

$$\tg(\theta_{ls}^{\max})=\sin{\theta_{cm}^{\max}}/(\cos{\theta_{cm}^{\max}+V/v_0})=1/\sqrt{C^2-1}$$

$$\sin(\theta_{\max}^{ls})=\tg(\theta_{\max}^{ls})/\sqrt{1+\tg^2(\theta_{\max}^{ls})}=1/C.$$

Как-то так. То есть остаётся найти $ 1/C=v_0/V$. В этом вся проблема. Используя нерелятивистские формулы, получаю $$V=p/(m_1+m_2)$ и $v_0=v_{1ls}-V=(v_{1ls}\cdot m_1+v_{1ls} \cdot m_2-p)/(m_1+m_2)=v_{1ls}\cdot m_2/(m_1+m_2)$$, т. к. $p=v_{1ls} \cdot m_{1}$. В итоге получается:

$$v_0/V=m_2/m_1,$$

как и должно быть.

Проблема возникает, когда пытаюсь использовать релятивистские формулы. У меня получается, что
$V=p/(E+m_2)$ (из общей формулы $V=p/E$) и $v_0=p_{cm_0}/E_{cm_0}$, где $E_{cm_0}=\sqrt{m_1^2+p_{cm}^2}$, где $p_{cm_0}=p\cdot m_2/\sqrt{s}$, а $s=m_1^2+2\cdot E\cdot m_2+m_2^2$ - мандельштамовская переменная.

В итоге имею

$$v_0=\frac{m_1^2+E\cdot m_2}{\sqrt{s}}.$$

И ответ получается:

$$\frac{v_0}{V}=\frac{m_2^2+E\cdot m_2}{m_1^2+E\cdot m_2},$$

а не $v_0/V=m_2/m_1$. Что делаю не так? Уже 2 дня не могу понять. Подскажите, пожалуйста.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.