2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Однородное уравнение Фредгольма первого рода
Сообщение26.10.2018, 05:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
thething в сообщении #1349157 писал(а):
Вы имеете ввиду метод производящих функций?


Нет, я просто имею в виду определение собственной функции. Традиционно в функциональном анализе собственной функцией оператора $K\colon L_2[a,b]\to L_2[a,b]$ называется ненулевая функция $f\in L_2[a,b]$, такая что $Kf=\lambda f$ для некоторого скаляра $\lambda$: по аналогии с собственными векторами матриц. Если такие $f$ и $\lambda$ существуют, то $\lambda$ называется собственным значением.

Если $K$ самосопряжён, то можно считать, что $\lambda\in \mathbb R$. В данном случае $(Kf)(x)=\int_a^b K(x,t)f(t)\,dt$. У любого компактного самосопряжённого оператора (в частности, у любого интегрального оператора с непрерывным симметричным ядром) существует полная ортонормированная система собственных функций в $L_2[a,b]$. Это частный (простой) случай спектральной теоремы, и является прямым обобщением теоремы о существовании базиса из собственных векторов самосопряжённой матрицы. При этом в обоих случаях ничто не мешает иметь $\lambda=0$.

В формулировке теоремы, которую Вы привели, определение собственной функции другое: вместо $Kf=\lambda f$ должно быть $\mu Kf=f$, и $\mu$ называется характеристическим числом. Фактически это означает, что собственными функциями мы называет только те функции, для которых $Kf=\lambda f$ с $\lambda\neq 0$. Для матриц это бы означало, что мы не считаем собственными векторами собственные вектора, отвечающие нулевому собственному значению. В такой формулировке они действительно могут быть не полны, и отсутствие их полноты ведёт к неединственности решения.

Но: в функциональном анализе такое определение сейчас не является общепринятым. Оно сохранилось в некоторых учебниках интегральных уравнений в силу исторических причин. Я должен был уточнить, прежде чем заявлять так прямо, что само утверждение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное уравнение Фредгольма первого рода
Сообщение26.10.2018, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Ну да, я, говоря о характеристических числах, имею ввиду $\lambda\ne 0$... То, что в теории интегральных уравнений определяется. Ладно, всё прояснилось, не надо было по памяти воспроизводить, конечно).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group