2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найдите все счастливейшие числа
Сообщение19.10.2018, 23:52 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Натуральное число $n$ называется счастливейшим тогда и только тогда, когда любое простое число даёт при делении на $n$ остаток, равный простому числу или единице.

Найдите все счастливейшие числа и докажите, что других нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:12 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Это, видимо, только $4,6,8,12,18,24,30$
Насчет доказательства...вероятным противопоказанием для (составного) числа $n$ быть счастливейщим является существование составного же числа $m<n$, взаимнопростого с $n$. И, достаточно поглядывать только на примориалы (квадрат или большая степень одного из простых множителей только понижают шансы числа быть счастливейшим). А за пределами тридцатки такое всегда будет. Тут еще слелано смелое предположение, что при взаимнопростых $m<n$, всегда найдется какое-нибудь простое вида $k\cdot n+m$; наверное, это можно доказать, но я чего-то туплю

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:22 


05/09/16
11467
http://oeis.org/A048597

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
waxtep в сообщении #1347841 писал(а):
Тут еще слелано смелое предположение, что при взаимнопростых $m<n$, всегда найдется какое-нибудь простое вида $k\cdot n+m$; наверное, это можно доказать, но я чего-то туплю
Это теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
wrest
А что там делают 1, 2 и 3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:38 


05/09/16
11467
Ktina
Удовлетворяют требованию для всех простых начиная с 5...
Единица за компанию. Не высаживать же на остановке...

В вашем условии меняем "любое простое" на "любое взаимно простое с $n$" и получаем A048597

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 02:08 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Someone в сообщении #1347846 писал(а):
Это теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
Спасибо! Ее доказательство, похоже, за рамками моего текущего понимания (смотрел в Гельфанд, Линник "Элементарные методы в аналитической теории чисел")

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group