2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найдите все счастливейшие числа
Сообщение19.10.2018, 23:52 
Аватара пользователя
Натуральное число $n$ называется счастливейшим тогда и только тогда, когда любое простое число даёт при делении на $n$ остаток, равный простому числу или единице.

Найдите все счастливейшие числа и докажите, что других нет.

 
 
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:12 
Аватара пользователя
Это, видимо, только $4,6,8,12,18,24,30$
Насчет доказательства...вероятным противопоказанием для (составного) числа $n$ быть счастливейщим является существование составного же числа $m<n$, взаимнопростого с $n$. И, достаточно поглядывать только на примориалы (квадрат или большая степень одного из простых множителей только понижают шансы числа быть счастливейшим). А за пределами тридцатки такое всегда будет. Тут еще слелано смелое предположение, что при взаимнопростых $m<n$, всегда найдется какое-нибудь простое вида $k\cdot n+m$; наверное, это можно доказать, но я чего-то туплю

 
 
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:22 
http://oeis.org/A048597

 
 
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:26 
Аватара пользователя
waxtep в сообщении #1347841 писал(а):
Тут еще слелано смелое предположение, что при взаимнопростых $m<n$, всегда найдется какое-нибудь простое вида $k\cdot n+m$; наверное, это можно доказать, но я чего-то туплю
Это теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

 
 
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:29 
Аватара пользователя
wrest
А что там делают 1, 2 и 3?

 
 
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 01:38 
Ktina
Удовлетворяют требованию для всех простых начиная с 5...
Единица за компанию. Не высаживать же на остановке...

В вашем условии меняем "любое простое" на "любое взаимно простое с $n$" и получаем A048597

 
 
 
 Re: Найдите все счастливейшие числа
Сообщение20.10.2018, 02:08 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1347846 писал(а):
Это теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
Спасибо! Ее доказательство, похоже, за рамками моего текущего понимания (смотрел в Гельфанд, Линник "Элементарные методы в аналитической теории чисел")

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group