Я был не прав пребрежительным отношением к этой задаче. Но меня всё равно тянет к обобщениям. Поэтому попробую доказать гипотезу maxla, впрочем эту гипотезу я здесь (в этом форуме) высказывал ещё раньше.
Пусть требуется найти экстремальное значение симметрической функции

при симметрическом ограничении

. Тогда (это известно) можно свести задачу к поиску экстремума некоторой симметричной функции (что выражается через другую функцию от элементарных симметричных функций)

при условии

, здесь элементарные симметричные функции могут быть взяты от новых переменных для удобства. Например в этой задаче

можно выразить через

и тогда ограничение

выражается

, где

элементарные функции от новых переменных.
Запишем произвотную от аункции Лагранжа

по одной из переменных

:

(1) по сути является полиномиальным уравнением степени n-1 для всех n переменных

, действительно коэффициенты

зависят только от симметричных частей, которых можно считать фиксированными (но произвольными), а

- симметрическая функция от переменных кроме

. Легко получается
(2)

.
Таким образом, все n значений

удовлетворяют полиномиальному уравнению степени меньше, не являющемся тождественным нулём. Это доказывает, что среди переменных есть равные, если они не граничные. На самом деле даже для граничных точек, когда одна из переменных фиксировано среди оставшихся будут равные. Однако это легко показать, когда фиксирована нулевая переменная, а при переходе к другим переменным граница может привратится в границу кривой области и это пересттанет быть очевидным. Поэтому следует отдельно рассмотреть.
Рассмотрим сейчас исходную задачу с учётом доказанного.
1. Переменная z=0 (на границе). Тогда приходится искать минимум

Это приводит к решению уравнения

. Экстремальное значение при

и равен

при
Когда

получаем ещё одно экстремальное значение, прaвда при отрицательном с, поэтому на этом не останавливаюсь.
2. Переменные у=x. Тогда

и
Правда нахождение экстремального значения х приводит к урешению уравнения 5 - ой степени

.
3. Все переменные равны. В этом случае

.
Остаётся выбирать минимальное значение среди полученных.
Оказалась, что решение при произвольном с довольно непростая задача даже после доказательства гипотезы maxala.