Задачи по линейной алгебре

[mihaild]

Да, я как-то забыл, что ненулевых значений свободного члена больше $1$ :)
Но и правда всё равно проходит.

[mihaild]

Munin в сообщении #1346089 писал(а):

А в поле (не в кольце), вроде, решений квадратного уравнения всегда не больше чем 2.

Ага. Стандартные рассуждения с дискриминантом проходят, если корень извлекается. А корень не может извлекаться более чем двумя способами, потому что если $a$ и $b$ - два значения корня, то $(a - b)(a + b) = 0$, и если $a \neq \pm b$, то $a - b$ - делитель нуля.

Munin в сообщении #1346144 писал(а):

Есть простая книжка про теорию квадрик над конечными полями?

Если найдете - поделитесь:)

[Xaositect]

Конкретно про количество решений есть в Лидл, Нидеррайтер. Конечные поля, раздел 6.2

[Munin]

О, спасибо, по названию ровно то, что нужно! (Щас зубы пообломаю...)

-- 15.10.2018 19:53:30 --

(Там исключён случай характеристики 2, для него я отдельно нашёл название Берлекэмп. Алгебраическая теория кодирования - но не открывал её.)

-- 15.10.2018 20:10:05 --

Открыл, и первый же вопрос: там предлагают просто транспонировать матрицы и вектор-столбцы.
Но я знаю, что в обычной линейной алгебре транспонирование применяется над $\mathbb{R},$ а над $\mathbb{C}$ - сопряжение, то есть транспонирование и комплексное сопряжение.
Про поля $F_{p^n},n\ne 1$ я уже немного привык думать как про в чём-то аналогичные комплексным числам. Например, многие поля $F_{p^2}$ могут быть построены как поля разложения многочлена $x^2+1,$ то есть буквально присоединением корня из $-1.$ Его очень удобно представлять себе как расположенный как $i$ на комплексной плоскости. $F_{2^2}$ удобно представлять себе как $F_2,$ расширенное присоединением $\omega$ - комплексного кубического корня из $1.$

Поэтому вопрос: случайно в линейной алгебре над конечными полями не бывает варианта, в котором вместо (или кроме) обычного транспонирования используется какое-то более сложное сопряжение?

[Munin]

Кажется, сообразил: комплексное сопряжение нужно только для того, чтобы числа вида $\bar{a}a$ лежали в $\mathbb{R}.$ А у нас для поля $F_{p^n}$ обычно не стоит задачи, чтобы "скалярные квадраты" лежали именно в $F_p.$ Так что, обходимся обычным "действительным стилем".

-- 15.10.2018 21:40:50 --

Просмотрел параграф до конца. В общем, ответ там полностью дан, но я утонул в подробностях. Надо как-нибудь в другой раз перечитать, с большим запалом энтузиазма.