Интеграл от экспоненты

[Grom Hellscream]

Поскажите, пожалуйста, как вычислить интеграл такого вида:
$\displaystyle \int\limits_{\mathbb{R}^n}\exp\left( x^T Ax+bx \right) $, где $A$ невырожденная матрица $n\times n$, $x=(x_1,\ldots, x_n),\ b=(b_1,\ldots,b_n)\in \mathbb{R}^n$. -- вектор столбцы.
Несложно понять, как вычислить такой интеграл без линейной части -- нужно перейти в базис, в котором квадратичная форма имеет вид суммы квадратов, а потом перемножить гауссовы. Но я немного туплю, что делать 1) с матрицей $A$, а второе что делать с линейной частью. Подскажите немного, пожалуйста.

Да, правильнее так.

[Lia]

Вы как-то запишите хорошо для начала, у Вас матрица умножается на скаляр, несовпадение размерностей.

[Grom Hellscream]

Lia в сообщении #1343378 писал(а):

Вы как-то запишите хорошо для начала, у Вас матрица умножается на скаляр, несовпадение размерностей.

Исправил.

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1343376 писал(а):

Подскажите немного

Подсказываю. Аналогично тому, как бы Вы считали одномерный интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp(-ax^2+bx)dx$

[arseniiv]

Проделал выкладки, никогда раньше их не делав. Интересные дела выходят, если случай комплексный — тогда требование эрмитовости $A$ нельзя опустить!

[Grom Hellscream]

amon в сообщении #1343391 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1343376 писал(а):

Подскажите немного

Подсказываю. Аналогично тому, как бы Вы считали одномерный интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp(-ax^2+bx)dx$

В одномерном случае мы делаем "выделение полного квадрата", из выражения $ax^2+bx+c = a(x+b/2)^2+(b^2-4ac)$, затем посчитать интеграл $\exp(b^2-4ac)\int \exp(-a(x+b/2)^2)$, который равен гауссовому.
В случае симметрической положительной матрицы $A$ мы можем перевести ортогональной матрицей $C$ $A\mapsto C^TAC=\operatorname{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n \} $ и свести к интегралу $\displaystyle\int\limits_{\mathbb{R}^n}\exp\left(\sum \lambda_i y_i ^2 \right)dy$, который является произведением гауссовых интегралов $\int \exp-\lambda_iy_i^2$. А придумать замену, которая бы убивала линейную часть я что-то не могу.

[arseniiv]

Так вот именно что повторите выделение полного квадрата, но с матрицами-векторами. С места в карьер не надо, возьмите для начала $(x + y)^T A (x + y)$ и идите в обратную сторону, попытавшись получить что-то, близкое к исходному выражению. Прекрасно получается, особенно если не забыть вовремя выделить из $A$ симметрическую часть (и раскладывать ничего раньше времени не нужно).

[Grom Hellscream]

Ну у меня получается только такое :
Попробуем сделать замену переменной $y = x+c$ так, чтобы $x^TAx+bx = y^TAy$. Это означает: $(x^T+c^T)A(x+c) = x^TAx + c^TAx+x^TAc + Ac, \Rightarrow c^TAx+x^TAc + Ac = bx$. То есть надо решить систему линейных уравнений на $c$. Так? (в силу симметрии $A$ можно еще считать $c^TAx=x^TAc$).

[arseniiv]

Grom Hellscream в сообщении #1343522 писал(а):

так, чтобы $x^TAx+bx = y^TAy$

Не ставьте невозможных задач — и всё будет хорошо. Чтобы избавиться от линейного по новой переменной слагаемого, придётся ввести константное — ровно как и в обычном выделении полного квадрата.

[Grom Hellscream]

arseniiv в сообщении #1343525 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1343522 писал(а):

так, чтобы $x^TAx+bx = y^TAy$

Не ставьте невозможных задач — и всё будет хорошо. Чтобы избавиться от линейного по $x$ слагаемого, придётся ввести константное — ровно как и в обычном выделении полного квадрата.

Почему это невозможное. Мы пытаемся заменить $x\mapsto x+c$ и смотрим на изменение подынтегрального выражения. Константный член, при этом, получается равным $Ac$.

[arseniiv]

Короче, честно говоря, я у себя в выводе не делал никаких замен и целей раньше времени, и в конце просто отнял от разбираемого выражения то, что оказалось лишним. Если вам удобнее действовать по-другому — OK, главное чтобы результативно было.

-- Чт окт 04, 2018 01:45:46 --

Но системы мне решать не пришлось.

[Grom Hellscream]

Мне кажется, что на постоянную часть $Ac$ можно забить, т.к. интегрирование идет по всему пространству (аналогично тому как было на плоскости).

[arseniiv]

$c^T A c$, и нет, как это забить? Это же постоянный множитель даёт. В любом случае $c$-то найдите.

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1343506 писал(а):

В одномерном случае мы делаем "выделение полного квадрата"

Напишите явно замену переменных,"убивающую" линейный член в одномерном случае, а заодно и ответ для одномерии, и попробуйте тупо обобщить эту замену и ответ на многомерию. К стати, здесь

Grom Hellscream в сообщении #1343522 писал(а):

$(x^T+c^T)A(x+c) = x^TAx + c^TAx+x^TAc + Ac, \Rightarrow c^TAx+x^TAc + Ac = bx$

у Вас ошибка. Вместо $Ac$ там что-то другое.

[Grom Hellscream]

amon в сообщении #1343537 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1343506 писал(а):

В одномерном случае мы делаем "выделение полного квадрата"

Напишите явно замену переменных,"убивающую" линейный член в одномерном случае, а заодно и ответ для одномерии, и попробуйте тупо обобщить эту замену и ответ на многомерию. К стати, здесь

Grom Hellscream в сообщении #1343522 писал(а):

$(x^T+c^T)A(x+c) = x^TAx + c^TAx+x^TAc + Ac, \Rightarrow c^TAx+x^TAc + Ac = bx$

у Вас ошибка. Вместо $Ac$ там что-то другое.

Да, там должно быть $c^TAc$ (постоянный член).

Окей, в одномерном случае:
$\int \exp(-(ax^2+bx+c))dx $. $ax^2+bx+c = a(x+b/2)^2-b^2/4+c$. Сделаем замену $x\mapsto y=x+b/2$, тогда $\int \exp(-(ax^2+bx+c))dx = \int \exp(-ay^2)\cdot \exp(c- b^2/4)dy = \mathrm{gauss}\cdot\exp(c-b^2/4)$. Так?