Интеграл от экспоненты

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1343541 писал(а):

Так?

Нет, не так. Выкинем $c$ из исходного интеграла (это - умножение на константу). Попробуем сосчитать Вашей заменой $y=x+b/2$ интеграл от $e^{-ax^2+bx}.$
$x=y-b/2$
$-ax^2+bx=-a(y-b/2)^2+b(y-b/2)$ и никуда линейный член не делся.

[Red_Herring]

Не ограничивая общности можно считать $A$ симметричная матрица ($a_{ij}=a_{ji}$). Если она к тому же вещественна (и тогда эрмитова), то необходимо наложить условие отрицательной определенности $A <0$ (т.е. $x^TAx<0$ $\forall x\ne 0$).

Однако $A$ может быть и комплексной матрицей с отрицательно определенной вещественной частью. Тогда с помощью линейной замены это сводится к случаю $\operatorname{Re} A=-I$. Т.е. $A=-(I+ Wi)$, где $W$ вещественная и симметричная. Но тогда с помощью ортогональной замены мы сохраняем $\operatorname{Re} A=-I$ и приводим $W$ к диагональному виду. Т.е. все опять сводится к одномерному случаю, но теперь комплексному. А его можно сделать обычно: рассмотрев
$J^2$ введя полярные координаты.

Да, я полагал, что $b=0$. Но $b\ne 0$ с любым комплексным вектором $b$ сводится сдвигом к $b=0$. Если сдвиг комплексный, то интегрирование получается по $\mathbb{R}+ i\beta$ и ТФКП доказывает, что это то же, что и с $\beta=0$.

Условие "$\operatorname{Re} A <0$" может быть заменено на "$\operatorname{Re} A=0$ и $\operatorname{Im} A$ невырождена" и даже на некоторую комбинацию: "$\operatorname{Re} A \le 0$ и $A$ невырождена" (вроде бы)

[Grom Hellscream]

amon в сообщении #1343544 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1343541 писал(а):

Так?

Нет, не так. Выкинем $c$ из исходного интеграла (это - умножение на константу). Попробуем сосчитать Вашей заменой $y=x+b/2$ интеграл от $e^{-ax^2+bx}.$
$x=y-b/2$
$-ax^2+bx=-a(y-b/2)^2+b(y-b/2)$ и никуда линейный член не делся.

Прошу прощения, что долго не отвечал.
Тогда я что-то не могу понять, как в одномерном случае свести к чисто квадрату.

[StaticZero]

Grom Hellscream в сообщении #1344934 писал(а):

Тогда я что-то не могу понять, как в одномерном случае свести к чисто квадрату.

Ну посмотрите, как квадратное уравнение решается. Соль именно в том, что изгоняется линейный член.

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1344934 писал(а):

Тогда я что-то не могу понять, как в одномерном случае свести к чисто квадрату.

Придумайте линейную замену переменных $x=\alpha y+\beta$ такую, что в переменных $y$ нет линейного по $y$ члена.

[Grom Hellscream]

amon в сообщении #1344941 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1344934 писал(а):

Тогда я что-то не могу понять, как в одномерном случае свести к чисто квадрату.

Придумайте линейную замену переменных $x=\alpha y+\beta$ такую, что в переменных $y$ нет линейного по $y$ члена.

$ y = x- b/2 $ точно подходит. $-x^2+bx = -(y+c)^2+b(y+c)\ \Rightarrow\ -y^2 - 2cy-c^2+by+bc,\ 2cy = by,\ c=b/2$.

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1344984 писал(а):

$ y = x- b/2 $ точно подходит. $-x^2+bx = \dots$

Так у Вас не $-x^2,$ а $-ax^2,$ и это самое $a$ окажется очень по-существу, когда Вы попытаетесь обобщить это на случай $-xAx.$

[Grom Hellscream]

amon в сообщении #1344992 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1344984 писал(а):

$ y = x- b/2 $ точно подходит. $-x^2+bx = \dots$

Так у Вас не $-x^2,$ а $-ax^2,$ и это самое $a$ окажется очень по-существу, когда Вы попытаетесь обобщить это на случай $-xAx.$

Вроде просто $y = x-b/2a$ в одномерном. Ав многомерном домножать на обратную к A матрицу?

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1345097 писал(а):

А в многомерном домножать на обратную к A матрицу?

Угу. И ответ можно сразу угадать из одномерного ответа.

[Grom Hellscream]

amon в сообщении #1345158 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1345097 писал(а):

А в многомерном домножать на обратную к A матрицу?

Угу. И ответ можно сразу угадать из одномерного ответа.

Все-таки напишу, что получается.

$x^TAx+bx.\quad x = y+c. $ $-(y+c)^TA(y+c)+b(y+c) = -y^TAy+c^TAc-y^TAc-c^TAy+by+bc. $ Хотим, чтобы пропал линейный член: $by-y^TAc-c^TAy = 0 $. В предположении симметричности матрицы $A$ можно положить $y^TAc = c^TAy$, поэтому $by = 2c^TAy$. Как отсюда выразить $c$?b
Туплю, $c = 1/2A^{-1}b$.

-- 10.10.2018, 23:04 --

В общем, подытоживая, получаем, кажется, такое :
$\int \exp\left( -y^TAy + (\dfrac{1}{2}A^{-1}b )^TA(\dfrac{1}{2}A^{-1}b)+\dfrac{1}{2}bA^{-1}b \right) = \dfrac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}} \exp(\ldots)$

[arseniiv]

У вас в экспоненте три слагаемых получилось, а должно быть два, да ещё и упрощаемые. Пусть $y = x + c,\; c = A^{-1} b / 2$, тогда с аккуратностью $y^t A y - c^t A c = x^t A x + b^t x$.

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1345245 писал(а):

$(\dfrac{1}{2}A^{-1}b )^TA(\dfrac{1}{2}A^{-1}b)$

А упростить и ответ в человеческом виде написать?

[Grom Hellscream]

amon в сообщении #1345285 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1345245 писал(а):

$(\dfrac{1}{2}A^{-1}b )^TA(\dfrac{1}{2}A^{-1}b)$

А упростить и ответ в человеческом виде написать?

Вроде $1/2 b^TA^{-1}b$ получается. М-да, неясно, чего я так додго тупил.

Спасибо большое за помощь Вам, и всем другим, кто помогал!

[alcoholist]

Grom Hellscream в сообщении #1345324 писал(а):

$1/2 b^TA^{-1}b$ получается

половину умножить на половину будет четвертина!

[amon]

Grom Hellscream в сообщении #1345324 писал(а):

М-да, неясно, чего я так додго тупил.

Еще у Вас знак в одном месте напутан и, как указал уважаемый alcoholist, с 1/4 беда. А так - справились.