Эквивалентность обратных функций

[Vadimovich]

Прошу прощения за ап старой темы, но вроде тема подходит.

Существует ли теорема, гласящая, что обратные к двум эквивалентным функциям эквивалентны между собой? Или может, у кого-то есть контрпример? Спасибо.

[Someone]

Вообще-то, запрещено.
На Ваш вопрос отвечаю, что теоремы такой нет, а контрпример придумайте сами. Он очень простой.

[Vadimovich]

Someone в сообщении #1340715 писал(а):

Он очень простой.

Очень простой пример найти не удалось, но все же они нашлись.
Тогда вопрос немного меняется. Есть ли контрпример для биективных функций?

[Otta]

Так ведь обратная определяется только для биективных.

[Someone]

Vadimovich в сообщении #1340744 писал(а):

все же они нашлись

Дык, поделились бы с нами на радостях-то. Мы бы тоже порадовались.

[Vadimovich]

Otta в сообщении #1340745 писал(а):

Так ведь обратная определяется только для биективных.

Можно выделять нужные промежутки и брать обратную, для каждого промежутка своя, но контрпример уже нашелся.
В общем, нашлись контрпримеры для функций общего вида, ну а для биективных пока нет.

-- 22.09.2018, 18:57 --

Someone в сообщении #1340757 писал(а):

Дык, поделились бы с нами на радостях-то. Мы бы тоже порадовались.

Чего вы такой токсичный? Много знаете - лучше знанием и помогайте

[Otta]

Vadimovich в сообщении #1340760 писал(а):

Можно выделять нужные промежутки и брать обратную,

Нельзя. Функция - это набор (одно множество - область определения, второе множество - область прибытия, закон соответствия). Меняя промежутки, Вы меняете функцию.

[Lia]

Vadimovich в сообщении #1340760 писал(а):

Чего вы такой токсичный?

Vadimovich
Замечание за переход на личности.

[Someone]

Vadimovich в сообщении #1340760 писал(а):

Чего вы такой токсичный?

Вы написали, что нашли контрпример. Я попросил Вас поделиться с нами своей находкой. Что Вы такое вычитали в моих словах? (Это риторический вопрос. Отвечать на него не надо.) Если бы Вы просто написали, что конкретно Вы нашли, и там ошибок не было бы, то я показал бы Вам свой контрпример. По правилам форума, я не имею права просто написать здесь решение простой учебной задачи. Сначала Вы должны написать своё решение.

Vadimovich в сообщении #1340760 писал(а):

В общем, нашлись контрпримеры для функций общего вида

Я не понимаю, что такое обратная функция для функции общего вида. Из существования обратной функции следует биективность, а для непрерывной функции — монотонность. Если мы говорим об эквивалентности функций, например, при $x\to+\infty$, то нужно рассматривать функции на каком-нибудь интервале вида $(a,+\infty)$. Значит, нужно рассматривать монотонные функции, определённые на таком интервале.
Но всё равно Вы могли бы написать, что именно Вы нашли.

[Vadimovich]

Otta в сообщении #1340766 писал(а):

Нельзя. Функция - это набор (одно множество - область определения, второе множество - область прибытия, закон соответствия). Меняя промежутки, Вы меняете функцию.

почему $x^2$ с $x\in$[0, $+\infty$] и $\sqrt{x}$ - нельзя посчитать обратными друг другу?

[Someone]

Vadimovich в сообщении #1340775 писал(а):

почему $x^2$ с $x\in$[0, $+\infty$] и $\sqrt{x}$ - нельзя посчитать обратными друг другу?

Функция $y=x^2$, рассматриваемая на промежутке $[0,+\infty)$, взаимно однозначно отображает его на промежуток $[0,+\infty)$, и имеет на нём обратную функцию $x=\sqrt{y}$. Что Вам не нравится?

[Vadimovich]

Someone в сообщении #1340773 писал(а):

Но всё равно Вы могли бы написать, что именно Вы нашли.

$\frac{1}{x^3}$ и $\frac{1}{x^3+x}$ , $x\in(0,\infty)$ эквивалентны при $x\to\infty$

обратные им $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ и $\frac{\left(9x^2+\sqrt{3}\sqrt{4x^6+27x^4}\right)^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{2}{3}}x}-\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}x}{\left(9x^2+\sqrt{3}\sqrt{4x^6+27x^4}\right)^{\frac{1}{3}}}$ не эквивалентны на том же промежутке

-- 22.09.2018, 20:43 --

Someone в сообщении #1340776 писал(а):

Что Вам не нравится?

мне все нравится, я это и имел в виду, когда говорил о функциях общего вида. Искал обратные к ним только на некоторых промежутках, что б была биективность.
Но контрпримера, когда функция биективна на всей прямой - не находится

[Otta]

Vadimovich в сообщении #1340777 писал(а):

не эквивалентны на том же промежутке

Почему?

[Someone]

Vadimovich в сообщении #1340777 писал(а):

Но контрпримера, когда функция биективна на всей прямой - не находится

Ну, придумать-то можно, только зачем?

Vadimovich в сообщении #1340777 писал(а):

обратные им $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ и $\frac{\left(9x^2+\sqrt{3}\sqrt{4x^6+27x^4}\right)^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{2}{3}}x}-\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}x}{\left(9x^2+\sqrt{3}\sqrt{4x^6+27x^4}\right)^{\frac{1}{3}}}$ не эквивалентны на том же промежутке

Понятие "функции эквивалентны на промежутке" нет. Они могут быть эквивалентны или не эквивалентны "при $x\to\ldots$". Что тут надо подставить вместо многоточия?

Очень неудобно, что у Вас аргументы исходной и обратной функции обозначены одинаково. Это сбивает Вас с толку и приводит к ошибкам. Лучше писать так: если исходная функция $y=\frac 1{x^3}$, то обратная будет $x=\frac 1{\sqrt[3]{y}}$.

Но пример у Вас, конечно, очень сложный.

[Otta]

Someone в сообщении #1340780 писал(а):

Но пример у Вас, конечно, очень сложный.

Но это не основная неприятность.
Upd А нет, вроде основная. Сорри, не туда смотрю. Не основная.