Эквивалентность обратных функций

[Someone]

Otta в сообщении #1340781 писал(а):

Но это не основная неприятность.

Да, конечно. Но хорошо бы, чтобы Vadimovich сам это обнаружил.

[Vadimovich]

Someone в сообщении #1340780 писал(а):

Vadimovich в сообщении #1340777 писал(а):

Но контрпримера, когда функция биективна на всей прямой - не находится

Ну, придумать-то можно, только зачем?

что б поверить

-- 22.09.2018, 21:39 --

Someone в сообщении #1340782 писал(а):

Понятие "функции эквивалентны на промежутке" нет

пардон, имел в виду что они не эквивалентны при х к бесконечности, когда область определения та же самая

[Otta]

Vadimovich в сообщении #1340785 писал(а):

пардон, имел в виду что они не эквивалентны при х к бесконечности, когда область определения та же самая

В этом месте до меня, наконец, дошло, зачем Вас Someone просил переменные переименовать. А переименуйте-ка, правда.

[provincialka]

Что такое $x$? Почему оно должно стремиться к бесконечности? Ведь ваши функции стремятся к 0, значит, и обратные надо рассматривать в окрестности 0... Или вы не так ставите задачу?

Кажется, пора перейти к более точным формулировкам...

Уже написали... Ну, оставлю... Или я слишком подсказываю?

[Otta]

provincialka в сообщении #1340789 писал(а):

Или я слишком подсказываю?

Слово не воробей.

[Vadimovich]

provincialka в сообщении #1340789 писал(а):

Что такое $x$? Почему оно должно стремиться к бесконечности? Ведь ваши функции стремятся к 0, значит, и обратные надо рассматривать в окрестности 0... Или вы не так ставите задачу?

да все так, дошло уже

[Someone]

Vadimovich в сообщении #1340785 писал(а):

что б поверить

Поверить во что?

(Оффтоп)

Союз "чтобы" или "чтоб" пишется слитно, в отличие от местоимения "что" с частицей "бы". Пример: "Что бы такое съесть, чтобы похудеть?"

Определение обратной функции не требует, чтобы области определения у исходной и обратной функции были одинаковыми. Более того, область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, и наоборот: если $f\colon X\xrightarrow{\text{на}}Y$ — взаимно однозначная функция, то обратная функция будет $f^{-1}\colon Y\xrightarrow{\text{на}}X$. Поэтому иметь желание получить $Y=X$ не возбраняется, но непонятно, зачем это нужно.
Далее, определение эквивалентности функций $f(x)\sim g(x)\text{ при }x\to a$ вовсе не требует, чтобы области определения функций $f(x)$ и $g(x)$ были одинаковыми. Они вполне могут быть разными. Единственное, что требуется, чтобы обе функции были определены в некоторой проколотой окрестности точки $a$.
Поэтому не морочьте себе голову одинаковыми областями определения.