Равносильны ли задачи?

[Pygmalion]

Здравствуйте, уважаемые форумчане! Меня интересует ответ на следующий вопрос: равносильны ли задачи 1 и 2?

Задача 1. Решите совокупность неравенств $\left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} < 0,\\\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} \le 0.\end{array} \right.$

Задача 2. Найдите область истинности предиката $P\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} < 0} \right) \vee \left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} \le 0} \right)$.

[kotenok gav]

Да.

[Pygmalion]

kotenok gav в сообщении #1340228 писал(а):

Да.

В задачнике приведен ответ к задаче 1 $x<1$. Значит, значение $x=-1$ является решением указанной совокупности.
Но принадлежит ли значение $x=-1$ области определения предиката $P(x)$?

[kotenok gav]

Pygmalion в сообщении #1340230 писал(а):

В задачнике приведен ответ к задаче 1 $x<1$.

Этот ответ неправилен.

[Pygmalion]

kotenok gav в сообщении #1340231 писал(а):

Pygmalion в сообщении #1340230 писал(а):

В задачнике приведен ответ к задаче 1 $x<1$.

Этот ответ неправилен.

Почему?

Задача 1 (№ 8.91, в), стр. 98 ) взята из книги «Сборник задач по алгебре: учеб. пособие для 8-9 кл. с углуб. изучением математики» , М.: Просвещение 2001 г, авторы: М. Л. Галицкий и др.
В этом же задачнике на стр. 59 приведено следующее определение: несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти все числа, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств.
В соответствии с приведенным выше определением ответ к задаче 1 указан верно.

[kotenok gav]

Хорошо, тогда

Pygmalion в сообщении #1340230 писал(а):

принадлежит ли значение $x=-1$ области определения предиката $P(x)$?

Нет, но это неважно.

[Pygmalion]

kotenok gav, т.е. получается, что задачи 1 и 2 не равносильны?

[Munin]

kotenok gav в сообщении #1340231 писал(а):

Этот ответ неправилен.

Правилен.

Pygmalion в сообщении #1340230 писал(а):

В задачнике приведен ответ к задаче 1 $x<1$. Значит, значение $x=-1$ является решением указанной совокупности.
Но принадлежит ли значение $x=-1$ области определения предиката $P(x)$?

Непонятно, зачем вам такие формальности в 9 классе.

Но предикат

Pygmalion в сообщении #1340227 писал(а):

$P\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} < 0} \right) \vee \left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} \le 0} \right)$

можно понимать как определённый на всей прямой $\mathbb{R}$:
- в тех точках, где неравенства неверны,
- и в тех точках, где их нельзя вычислить,
предикат считается ложным, а в остальных - истинным.

Можете считать, что в каждой конкретной точке $x\in\mathbb{R}$ некто задаёт вам вопрос: "верно ли, что $\tfrac{x^2}{x - 1}<0$?" В случае, если вы не можете вычислить выражение, вы, очевидно, отвечаете: "нет, неверно!" И в случае, если неравенство не выполняется, отвечаете так же. Потом то же происходит с $\frac{x^2}{x + 1}\leqslant 0.$ И потом некто объединяет по "или" ваши ответы.

[Pygmalion]

Munin, т.е. Вы считаете, что областью определения предиката $P(x)$ является множество $R$ всех действительных чисел?

[Munin]

Вообще-то к каждому предикату должно быть указано, на каком множестве он определён. "Гадать" по виду формулы - это плохая идея. В школе её дают по другой причине: чтобы люди научились не подставлять что попало куда попало, в первую взятую формулу. Но вообще в математике формула и область определения - две разные вещи, живущие своей жизнью. (Не говоря о том, что формулы может вообще не быть.)

Но пока вы школьник, практически можете всегда предполагать множество действительных чисел (когда явно не указано иное). Если функция задана формулой, то иногда из-за особенностей формулы, она может в каких-то точках не иметь смысла, тогда функция там не определена. Но выражение "$f(x)<0$" может иметь смысл, как предикат, даже если $f(x)$ в точке не имеет смысла: просто этот предикат ложен.

[pogulyat_vyshel]

Считать ли предикат ложным в точке $x=-1$ или считать, что эта точка не принадлежит его области определения -- это вопрос договоренности, который должен быть явно прописан в учебнике

[Pygmalion]

pogulyat_vyshel в сообщении #1340273 писал(а):

Считать ли предикат ложным в точке $x=-1$ или считать, что эта точка не принадлежит его области определения -- это вопрос договоренности, который должен быть явно прописан в учебнике

pogulyat_vyshel, пожалуйста, Вы можете назвать хотя бы один учебник, в котором написано определение области определения предиката, по которому в задаче 2 значение $x=-1$ входит в область определения предиката $P(x)$. Буду Вам очень благодарен.

-- 20.09.2018, 12:54 --

-- 20.09.2018, 12:56 --

Munin в сообщении #1340270 писал(а):

Вообще-то к каждому предикату должно быть указано, на каком множестве он определён. "Гадать" по виду формулы - это плохая идея. В школе её дают по другой причине: чтобы люди научились не подставлять что попало куда попало, в первую взятую формулу. Но вообще в математике формула и область определения - две разные вещи, живущие своей жизнью. (Не говоря о том, что формулы может вообще не быть.)

Но пока вы школьник, практически можете всегда предполагать множество действительных чисел (когда явно не указано иное). Если функция задана формулой, то иногда из-за особенностей формулы, она может в каких-то точках не иметь смысла, тогда функция там не определена. Но выражение "$f(x)<0$" может иметь смысл, как предикат, даже если $f(x)$ в точке не имеет смысла: просто этот предикат ложен.

Munin, спасибо за Ваш ответ. Но почему же тогда в задачниках есть масса задач, где числовые функции задаются с помощью формулы и об их области определения ничего не сказано? Как же так? Я должен сам догадаться?

[pogulyat_vyshel]

Пожалуй я это свое высказывание снимаю

pogulyat_vyshel в сообщении #1340273 писал(а):

Считать ли предикат ложным в точке $x=-1$ или считать, что эта точка не принадлежит его области определения -- это вопрос договоренности, который должен быть явно прописан в учебнике

[Munin]

Pygmalion в сообщении #1340275 писал(а):

Но почему же тогда в задачниках есть масса задач, где числовые функции задаются с помощью формулы и об их области определения ничего не сказано? Как же так? Я должен сам догадаться?

Да. Есть правила, по которым определяют область определения числовых функций. (В школе это называют ОДЗ - областью допустимых значений.)
По сути, их немного:

$\dfrac{f}{g}\quad\Rightarrow\,\,g\ne 0$ - нельзя делить на ноль, так что все точки, в которых знаменатель любого деления оказывается нулём, выбрасываются из области определения;

$\sqrt{f},\sqrt[2k]{f}\quad\Rightarrow\,\,f\geqslant 0$ - в школе принято соглашение, что знак корня означает "арифметический корень", и для чётных степеней под корнем должно стоять неотрицательное число;

$f^g\quad\Rightarrow\,\,(f>0)\,\,\pmb{\vee}\,\,(f=0\,\,\wedge\,\,g>0)\,\,\pmb{\vee}\,\,(f<0\,\,\wedge\,\,g\in\mathbb{Z})$ - правила возведения в степень сложны, и иногда по-разному сформулированы, но с этим обычно проблем не возникает - составители задач сами избегают "топкой почвы";

$\log_g f\quad\Rightarrow\,\,f>0\,\,\wedge\,\,g>0\,\,\wedge\,\,g\ne 1$ - тут всё достаточно просто;

Ну и просто для некоторых других именованных функций надо запомнить области определения:

$\tg f\quad\Rightarrow\,\,f\ne \tfrac{\pi}{2}+\pi k\quad(k\in\mathbb{Z})$;
$\ctg f\quad\Rightarrow\,\,f\ne\pi k\quad(k\in\mathbb{Z})$;
$\arcsin f,\arccos f\quad\Rightarrow\,\,f\in[-1,1]$

Если я какие-то забыл, извините.

[Pygmalion]

Munin, спасибо!
Т.е. областью определения (естественной областью определения) числовой функции, заданной формулой $y=f(x)$, называется множество всех значений переменной $x$, при которых выражение $f(x)$ существует.

Но и для данного предиката $P(x)$ тоже можно указать естественную область определения. Ведь из условия следует, что переменная $x$ может принимать только числовые значения. Значит, естественная область определения предиката $P(x)$ - это множество $\[\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]$. Так?