Равносильны ли задачи?

[arseniiv]

Munin в сообщении #1340284 писал(а):

Есть правила, по которым определяют область определения числовых функций.

Кстати все эти правила можно заменить правилом для композиции, но это будет, видимо, страшно для школьного уровня, так что я его в этой теме приводить не стану.

Насчёт истинности высказывания с неопределёнными выражениями внутри — как понимаю, действительно, в большинстве случаев в математике в таком случае оно считается ложным, а не неопределённым. Иначе только при рассмотрении каких-нибудь экзотических логик.

Pygmalion в сообщении #1340298 писал(а):

при которых выражение $f(x)$ существует

Возможно, лучше сказать, при которой выражение определено, то есть имеет значение. Выражение само по себе прекрасно существует — вот же оно.

Pygmalion в сообщении #1340298 писал(а):

Но и для данного предиката $P(x)$ тоже можно указать естественную область определения. Ведь из условия следует, что переменная $x$ может принимать только числовые значения. Значит, естественная область определения предиката $P(x)$ - это множество $\[\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]$. Так?

С учётом того, что происходит в математике, предикаты стоит считать всюду определёнными.

[Pygmalion]

arseniiv, спасибо за Ваши замечания. Я пропустил слово. Нужно было написать так: областью определения (естественной областью определения) числовой функции, заданной формулой $y=f(x)$, называется множество всех значений переменной $x$, при которых значение выражения $f(x)$ существует.

[Munin]

Pygmalion в сообщении #1340298 писал(а):

Но и для данного предиката $P(x)$ тоже можно указать естественную область определения.

Да. Внезапно оказывается, что операции, превращающие числа в логические значения - для вас это $=,>,<,\ne,\geqslant,\leqslant$ - имеют область определения $\mathbb{R},$ наплевав на область определения своих операндов. Они просто имеют значение "ложно" там, где операнды не существуют.

Смотрите примеры:

1) При каких $x,y\in\mathbb{R}$ выполняется $\tfrac{1}{x}=\tfrac{1}{y}$?
Ответ: $(x=y)\wedge(x\ne 0).$ Логично.

2) При каких $x,y\in\mathbb{R}$ выполняется $\sqrt{x}\geqslant\sqrt{y}$?
Ответ: $(x\geqslant y)\wedge(y\geqslant 0).$ Тоже вполне логично.

3) При каких $x\in\mathbb{R}$ не выполняется $\tfrac{1}{x}>0$?
Ответ: $x\leqslant 0.$

В общем, мне кажется, вполне работает.

-- 20.09.2018 20:09:13 --

arseniiv в сообщении #1340304 писал(а):

Кстати все эти правила можно заменить правилом для композиции

Нельзя. Оно дополнительно к тому, что я перечислил. По сути, его тоже надо было бы расписать, но в школьных заданиях, кажется, оно избыточно.

-- 20.09.2018 20:14:12 --

Pygmalion в сообщении #1340322 писал(а):

Нужно было написать так: областью определения (естественной областью определения) числовой функции, заданной формулой $y=f(x)$, называется множество всех значений переменной $x$, при которых значение выражения $f(x)$ существует.

Тут легко скатиться в тавтологию, не различая функцию и формулу. В школе между ними и вправду не делают чётких различий. Но на всякий случай скажу, что для одной функции бывает несколько формул (и тождественные преобразования переводят от одной к другой), а для многих функций (фактически, для большинства) никаких формул написать нельзя.

[Pygmalion]

Munin писал(а):

$\dfrac{f}{g}\quad\Rightarrow\,\,g\ne 0$ - нельзя делить на ноль, так что все точки, в которых знаменатель любого деления оказывается нулём, выбрасываются из области определения;

А вот с этим я не согласен. Например, если я буду находить область определения функции $\[y = \frac{{\sqrt x }}{{{x^2} - 1}}\]$, следуя Вашему правилу, то я получу неверный ответ.

[Munin]

А какой у вас получился, и почему вы его считаете неверным?

[Pygmalion]

Munin в сообщении #1340369 писал(а):

А какой у вас получился, и почему вы его считаете неверным?

Я считаю, что правильный ответ такой: $\[D\left( y \right) = \left[ {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\] $.
А если следовать Вашему правилу, получается такой ответ: $\[D\left( y \right) = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]$.

[Munin]

Ну почему же? Корень тоже выкидывает полупрямую. Смотрите, вы сопоставили формулу $\tfrac{\sqrt{x}}{x^2 - 1}$ с $\tfrac{f}{g},$ и выкинули точки $\pm 1.$ Хорошо, но дальше вы смотрите уже на формулы $f=\sqrt{x}$ и $g=x^2-1,$ и их области определения - это упомянутое arseniiv правило композиции. И обнаруживаете, что $\sqrt{x}$ сопоставляется с шаблоном $\sqrt{f}$ (ну, здесь это другая $f$), и выкидываете точки $x,$ в которых уже новое условие не выполняется.

В общем, я не написал ничего нового по сравнению с тем, что вы и так уже умеете.

[Pygmalion]

Munin, спасибо! Всё понятно.

Munin писал(а):

$\dfrac{f}{g}\quad\Rightarrow\,\,g\ne 0$ - нельзя делить на ноль, так что все точки, в которых знаменатель любого деления оказывается нулём, выбрасываются из области определения;

Просто глядя на Ваше правило можно было подумать, что для нахождения области определения дроби нужно просто решить неравенство: знаменатель дроби не равен нулю и всё. Будто бы от числителя вообще ничего не зависит.

[Munin]

В этом случае я написал бы не $\Rightarrow,$ а $\Leftrightarrow$ :-)

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1340354 писал(а):

Да. Внезапно оказывается, что операции, превращающие числа в логические значения - для вас это $=,>,<,\ne,\geqslant,\leqslant$ - имеют область определения $\mathbb{R},$ наплевав на область определения своих операндов. Они просто имеют значение "ложно" там, где операнды не существуют.

ИМХО, тут можно вспомнить про троичную логику, и считать значением операции, превращающей числа в логические значения, "неизвестно" там, где операнды не определены. Как вариант.

[arseniiv]

Но ведь классическая логика куда ближе к тому, что использует большинство математиков, чем любая троичная. У этого варианта как минимум весьма ограниченная область применимости (здесь).

[Munin]

Ну, к решению стандартных задач на школьном уровне это уже не относится.