Дифференциальное уравнение.

[dsge]

DeBill в сообщении #1335807 писал(а):

Если область определения переходит в себя при отображении $x \mapsto \alpha x$,то, по крайней мере , чисто формально, процедура метода последовательных приближений (сжимающих отображений) работает (и даст тот самый ряд, что ТС уже построил). Если же нет - на вылезающей наружу части области придется решение доопределять - отсюда и произвол, о котором говорит pogulyat_vyshel

После замены $x_1 =\alpha x$ ничего уже доопределять не надо и локально всегда решение существует. В переменной же $ x$ и при $\alpha>1$ доопределять надо и локально поскольку аргумент функции вылезает за пределы интегрирования, что делать с этим хвостом при итерации отображения непонятно. Если решение не продолжается, уходит в бесконечность, то, кажется, что доопределяй, не доопределяй - все равно ничего не получится, нужную Липшецевость не получить.

[pogulyat_vyshel]

Я, если что, говорил про нелинейный случай и отмечал, что принцип сжатых отображений дает решение локально при малых $|x|$. По другому, вообще говоря и быть не может, даже в ОДУ.
В линейном случае при $0\le\alpha\le 1$ теорема существования должна получиться глобальной т.к. там априорная оценка типа леммы Гронуола -Белмана имеется

[DeBill]

dsge в сообщении #1335822 писал(а):

В переменной же $ x$ и при $\alpha>1$ доопределять надо и локально поскольку аргумент функции вылезает за пределы интегрирования

Да. Но после замены переменной, теперь уже верхний предел интеграла будет великоват...Так что таким простым фокусом задача не спасается...

-- 01.09.2018, 02:59 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1335824 писал(а):

теорема существования должна получиться глобальной

А еще можно поитерировать, и интегральный оператор вольтеррова типа заоценить - тоже может сработать...
Но вот как быть с тем, что при альфах, больших единицы, ряд, который написал ТС, расходится на фик?

-- 01.09.2018, 03:13 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1335824 писал(а):

там априорная оценка типа леммы Гронуола -Белмана имеется

Что то в организме подсказывает, что априорные оценки работают уже ПОСЛЕ того как доказаны теоремы о существовании, единственности, и продолжимости (ну, раза три-четыре приходилось использовать, но именно в таком порядке). Или я что то путаю?

[dsge]

DeBill в сообщении #1335869 писал(а):

после замены переменной, теперь уже верхний предел интеграла будет великоват..

Это неважно. Верхний предел всегда можно выбрать так (в новой переменой), чтобы интегральный оператор был сжимающим, $\alpha$ всего лишь константа.

[pogulyat_vyshel]

DeBill в сообщении #1335869 писал(а):

априорные оценки работают уже ПОСЛЕ того как доказаны теоремы о существовании

Вообще-то наоборот. Для нелинейных УРЧП особенно априорные оценки являются одним из основных источников теорем существования, если не основным.
В обыкновенных дифурах, как правило, это делается несколько иначе.
Покажу на примере нашего уравнения $f'(x)=f(\alpha x),\quad f(0)=\hat f,\quad \alpha\in[0,1]$.
Перейдем к интегральному уравнению

$$f(x)=\hat f+\int_0^xf(\alpha s)ds.\qquad (1)$$

Попробуем подыскать неубывающую функцию $F(x)$ такую, что $|f(x)|\le F(x)$ при $x\ge 0$ (это будет априорная оценка), для этого хочется написать

$$ |f(x)|\le |\hat f|+\int_0^x|f(\alpha s)|ds\le |\hat f|+\int_0^xF( s)ds\le F(x).$$

или если еще слегка загрубить

$$F(x)= |\hat f|+\int_0^xF( s)ds.$$

Теперь ясно, что можно взять $F(x)=|\hat f|e^x.$ Я еще не знаю, что решение существует , но есть априорная оценка $|f(x)|\le F(x)$

Теперь превращаем это эвристическое рассуждение в доказательство.
Введем множество

$$W=\{u\in C[0,X]\mid |u(x)|\le F(x),\quad |u(x')-u(x'')|\le |\hat f|e^X|x'-x''|\}$$

$X-$ любое наперед заданное положительное число
Множество $W$ это выпуклый компакт в $C[0,X]$.
А непрерывное отображение
$\mathcal F(u)=\hat f+\int_0^xu(\alpha s)ds$ переводит этот компакт в себя. По теореме Шаудера это отображение имеет неподвижную точку. Я ,конечно, понимаю, что теорема Шаудера в линейной задаче ,да еще такой простой, выглядит странно, но я просто хотел проиллюстрировать принцип (один из принципов, связанных с априорным оцениванием).

[DeBill]

pogulyat_vyshel
А, спасибо, это хорошо.

[TelmanStud]

Всем огромное спасибо