любопытное тождество

[alcoholist]

В одной теме, попавшей в карантин, было предложено рассмотреть выражение $A\vec{x}\times A\vec{y}$.
Любопытно, что данное выражение преобразуется с использованием элементарного тождества

$$ \epsilon_{ijk}a_{il}a_{jm}a_{kn}=\epsilon_{lmn}\det{A}, $$

которое труднее придумать, чем доказать. Да, разумеется, оператор $A$ симметрический, $(a_{ij})$ -- его матрица, по повторяющимся суммирование.

А что для несимметрических операторов в трехмерном евклидовом пространстве?

(Оффтоп)

кстати, почему не двухмерное и тримерное?

[alcoholist]

не сочтите за подъем темы)

Можно и в бескоординатной форме: для любого вектора $z$ имеем с одной стороны

$$ (Ax,Ay,Az)=(x,y,z)\det A, $$

а с другой

$$ (Ax,Ay,Az)=\Bigl(A(Ax\times Ay),z\Bigr). $$

[Slav-27]

Чего любопытного-то?

Как известно, $\det A = \epsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$. При обмене двух строчек местами определитель меняет знак, поэтому $\epsilon_{ijk}a_{li}a_{mj}a_{nk}=\epsilon_{lmn}\det A$.

Хоть симметричная она, хоть какая.

[Munin]

alcoholist в сообщении #1333065 писал(а):

$$ (Ax,Ay,Az)=\Bigl(A(Ax\times Ay),z\Bigr).$$

Это почему? Я думал,

$$(Ax,Ay,Az)=\bigl((Ax\times Ay),Az\bigr)=\bigl(A^\ast(Ax\times Ay),z\bigr).$$

[Booker48]

alcoholist в сообщении #1332867 писал(а):

(Оффтоп)

кстати, почему не двухмерное и тримерное?

(Оффтоп)

По случайности, надо полагать. У И.В. Арнольда в "Теоретической арифметике" 1938 года: "двуричная система счисления".