2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 любопытное тождество
Сообщение16.08.2018, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2288
СПб
В одной теме, попавшей в карантин, было предложено рассмотреть выражение $A\vec{x}\times A\vec{y}$.
Любопытно, что данное выражение преобразуется с использованием элементарного тождества
$$
\epsilon_{ijk}a_{il}a_{jm}a_{kn}=\epsilon_{lmn}\det{A},
$$
которое труднее придумать, чем доказать. Да, разумеется, оператор $A$ симметрический, $(a_{ij})$ -- его матрица, по повторяющимся суммирование.

А что для несимметрических операторов в трехмерном евклидовом пространстве?

(Оффтоп)

кстати, почему не двухмерное и тримерное?

 Профиль  
                  
 
 Re: любопытное тождество
Сообщение17.08.2018, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2288
СПб
не сочтите за подъем темы)

Можно и в бескоординатной форме: для любого вектора $z$ имеем с одной стороны
$$
(Ax,Ay,Az)=(x,y,z)\det A,
$$
а с другой
$$
(Ax,Ay,Az)=\Bigl(A(Ax\times Ay),z\Bigr).
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: любопытное тождество
Сообщение17.08.2018, 13:04 
Заслуженный участник


14/10/14
673
Чего любопытного-то?

Как известно, $\det A = \epsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$. При обмене двух строчек местами определитель меняет знак, поэтому $\epsilon_{ijk}a_{li}a_{mj}a_{nk}=\epsilon_{lmn}\det A$.

Хоть симметричная она, хоть какая.

 Профиль  
                  
 
 Re: любопытное тождество
Сообщение18.08.2018, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68748
alcoholist в сообщении #1333065 писал(а):
$$
(Ax,Ay,Az)=\Bigl(A(Ax\times Ay),z\Bigr).$$

Это почему? Я думал,
$$(Ax,Ay,Az)=\bigl((Ax\times Ay),Az\bigr)=\bigl(A^\ast(Ax\times Ay),z\bigr).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: любопытное тождество
Сообщение18.08.2018, 15:23 


07/06/17
422
alcoholist в сообщении #1332867 писал(а):

(Оффтоп)

кстати, почему не двухмерное и тримерное?

(Оффтоп)

По случайности, надо полагать. У И.В. Арнольда в "Теоретической арифметике" 1938 года: "двуричная система счисления".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group