парадокс выбора

[PETIKANTROP]

epros в сообщении #1336037 писал(а):

Вы о чём?

О возможности ситуации с максимально выгодным выбором одновременно для группы и индивидов.

epros в сообщении #1336037 писал(а):

Предсказатель, похоже, не свои деньги кладёт в коробки и его интерес измеряется вовсе не этими деньгами.

Угу, если, к примеру, заменить 1млн. на УДО.

Если Предсказатель не "свой", то игроку нужно рисковать.

[mihaild]

epros в сообщении #1335984 писал(а):

Стандартная задача теории игр

Как раз при попытке рассмотреть это как стандартную задачу (у нас две стратегии - что брать, у Омеги две стратегии - класть ли деньги в непрозрачный ящик или нет) - и возникают проблемы, потому что теряется условие о то, что Омега предсказывает наш выбор.

Это задача из области теория принятия решений, а не теории игр. И "парадокс" в том, что если в задаче есть связи, которые теория не умеет моделировать, то теория, внезапно, плохо решает эту задачу.

[epros]

mihaild в сообщении #1336046 писал(а):

Это задача из области теория принятия решений, а не теории игр.

Такое принятие решений, при котором приходится учитывать информацию о принятии решений другими участниками, называется игрой.

mihaild в сообщении #1336046 писал(а):

И "парадокс" в том, что если в задаче есть связи, которые теория не умеет моделировать, то теория, внезапно, плохо решает эту задачу.

Это про какую теорию? Если про теорию игр, то я не понимаю, чего она тут может не уметь. Это стандартная игра с полной информацией, так что решением является равновесие Нэша (если оно есть). И в данном случае оно есть, причём не только для смешанных стратегий (как в более сложных играх типа чёт-нечет ).

mihaild в сообщении #1336046 писал(а):

... и возникают проблемы, потому что теряется условие о то, что Омега предсказывает наш выбор.

Я этого не понимаю. С какой стати это условие должно "теряться", если в условиях чётко сказано, что один игрок предсказывает решение другого. Можно, конечно, начать рассуждать о том, что предсказания бывают "не очень хорошими". Например, игра может проводиться многократно и предсказатель будет формировать своё предсказание на основании усреднения информации о том, как раньше действовал противник. В итоге мы должны будем искать решение в т.н. "смешанных стратегиях" (т.е. в вероятностях). Так вот, в смешанных стратегиях у этой задачи точка равновесия Нэша тоже есть.

[mihaild]

epros в сообщении #1336104 писал(а):

Такое принятие решений, при котором приходится учитывать информацию о принятии решений другими участниками, называется игрой.

А в какой-нибудь формальной форме эту игру как предлагается представлять? Как учитывается предсказание одним игроком выбора другого?

epros в сообщении #1336104 писал(а):

Это про какую теорию?

Про causal decision theory.
Она как раз рисует матрицу $2 \times 2$, по строкам - брать 1/2 ящика, по столбцам - класть деньги в непрозрачный ящик / не класть. Дальше мы видим, что стратегия "брать два ящика" строго доминирует стратегию "брать один ящик", берем один ящик, и остаемся умными, но бедными.

[epros]

mihaild в сообщении #1336219 писал(а):

А в какой-нибудь формальной форме эту игру как предлагается представлять?

Да стандартная форма - в виде двух платёжных функций (для каждого игрока) от двух переменных (решений каждого игрока). У того игрока, который забирает деньги, платёжная функция - количество полученных денег. У предсказателя платёжная функция, например, 1 если правильно угадал ход второго игрока и 0 если неправильно. Каждого игрока считаем рациональным в том смысле, что его задача - максимизировать собственную платёжную функцию.

mihaild в сообщении #1336219 писал(а):

Как учитывается предсказание одним игроком выбора другого?

Это обычная ситуация теории игр. Собственно, игровая ситуация и возникает как только возникает зависимость принимаемого решения от информации о решении других участников, до этого - обычная задача оптимизации. В общем случае информация о решении других участников может быть неполной, но в данной задаче она полная. Это значит, что каждый игрок знает принципы принятия решения другим игроком, а также знает, что тот знает то же самое о первом игроке, а также знает, что тот знает о первом игроке, что тот знает то же самое о втором и т.д.

Решением такой задачи является равновесие Нэша - точка пересечения условных максимумов платёжных функций: Максимума платёжной функции первого игрока при условии заданного решения второго игрока с максимумом платёжной функции второго игрока при условии заданного решения первого игрока. Если такая точка существует и единственна, то она и есть решение. Если нет, то решение ищется на смешанных стратегиях: распределениях вероятности по множеству решений игрока. Например, в игре чёт-нечет решение есть только на смешанных стратегиях, т.е. игроку чтобы не проиграть приходится включать генератор случайных чисел.

[mihaild]

epros в сообщении #1336302 писал(а):

Это обычная ситуация теории игр.

Нет, не обычная. Обычная ситуация - когда каждый игрок старается предсказать выбор другого.
Тут у нас другое условие - Омега по условию каким-то магическим образом всегда (или часто) успешно угадывает наш выбор.

В вашей постановке, если мы используем монетку для выбора стратегии, ожидание выигрыша Омеги для любой стратегии $\frac{1}{2}$. В постановке Ньюкома Омега гарантированно выигрывает (угадывает, что мы возьмем).

(Оффтоп)

На уровне "определение равновесия Нэша для игр в матричной форме" я теорию игр вроде бы знаю. Мне кажется, что парадокс Ньюкома просто не описывается в такой форме.

[realeugene]

epros в сообщении #1336302 писал(а):

генератор случайных чисел.

Если существует идеальный предсказатель, то не существует генератора случайных чисел.

[Geen]

mihaild в сообщении #1336370 писал(а):

Омега по условию каким-то магическим образом всегда (или часто) успешно угадывает наш выбор

Так всегда или часто? Бесполезно применять теории, если задача не сформулирована.

[mihaild]

Geen в сообщении #1336387 писал(а):

Так всегда или часто?

Частота угадывания - это параметр задачи. Для простоты можно считать ее равной единице. Иногда возникают возражения вида "идеальных предсказателей не существует" - для их учета можно считать ее меньше $1$.

[Geen]

mihaild в сообщении #1336391 писал(а):

Для простоты можно считать ее равной единице.

Это если доказать, что нет особенностей в единице

[mihaild]

Geen в сообщении #1336396 писал(а):

Это если доказать, что нет особенностей в единице

Ожидание нашего выигрыша для каждой из стратегий линейно по этой вероятности, в единице все интересные неравенства строгие, так что всё честно.

[realeugene]

На самом деле, это, конечно, никакая не игра, так как в этой задаче нет двух сторон, выбирающих для себя оптимальную стратегии. По постановке задачи, предсказатель - это механизм, реализующий жесткий алгоритм. Он всегда предсказывает (с возможной модификацией, что существует фиксированная вероятность ошибки предсказания). Оптимальная стратегия для подопытного, максимизирующая матожидание ценности его выигрыша, считается обычными методами теорвера.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1336370 писал(а):

Тут у нас другое условие - Омега по условию каким-то магическим образом всегда (или часто) успешно угадывает наш выбор.

Никакой уличной магии.
Все предсказатели подглядывают. И тут
1. Игрок делает выбор.
2. Предсказатель получает информацию о выборе игрока, кладет или не кладет сумму в закрытую коробку, пишет своё "предсказание".
3. Игроку вручают коробку или две - как он выбрал.

[Geen]

mihaild в сообщении #1336397 писал(а):

Geen в сообщении #1336396 писал(а):

Это если доказать, что нет особенностей в единице

Ожидание нашего выигрыша для каждой из стратегий линейно по этой вероятности, в единице все интересные неравенства строгие, так что всё честно.

Это Вы сейчас доказали другое - что сужение функции на интервал имеет непрерывное продолжение на отрезок

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1336409 писал(а):

2. Предсказатель получает информацию о выборе игрока, кладет или не кладет сумму в закрытую коробку, пишет своё "предсказание".

Это уже не парадокс Ньюкома, а другая задача, и в ней всё понятно. Интересна именно постановка "в момент выбора содержимое коробок уже фиксировано".

Geen в сообщении #1336411 писал(а):

Это Вы сейчас доказали другое - что сужение функции на интервал имеет непрерывное продолжение на отрезок

Нет, я доказал именно непрерывность.
Нам важно, какая стратегия обеспечивает больший выигрыш. Выигрыш (как настоящий, так и с точки зрения CDT) от каждой стратегии в зависимости от вероятности непрерывен на отрезке. В единице выигрыш от одного ящика строго больше чем от двух, а с точки зрения CDT - строго меньше. Значит и в окрестности единицы выигрыши соотносятся так же.