2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Третий факториал
Сообщение14.08.2018, 01:10 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Рассмотрим последовательность:

6 12 14 20 30 39 42 56 62 72 84 90 110 120 ...

Это последовательность натуральных чисел, представимых в виде
$$n+n^2+\dots +n^k$$
, где $n, k \geqslant 2$ - натуральные числа.

В этой последовательности встречаются два факториала: 6 и 120.
А встретится ли в ней третий факториал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Третий факториал
Сообщение14.08.2018, 06:49 
Аватара пользователя


29/04/13
7134
Богородский
Ну то есть это числа, которые в $n$-ричной системе счисления имеют вид $111...1110$. Нет, не встретится. В десятичной СС последние нули в факториалах продуцируются с куда большей скоростью, чем в числах такого вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Третий факториал
Сообщение16.08.2018, 01:20 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Только наброски:
1. Для простых $k$ почти наверняка проходит доказательство (несуществования) из статьи П.Эрдёша, Р.Облата, упоминавшейся здесь, поскольку $\dfrac n{n-1}(n^k-1)$ несильно отличается от $n^k-1$. Таким образом, для $m!$ с "большим" $m>20$ имеет смысл рассматривать только составные $k$ (в нашей задаче уже не возьмешь "не ограничивая общности" простые $k$, а, для составных, оценки из той статьи, насколько я могу понять, уже "в лоб" не работают). Ссылка на статью теперь выглядит так

2. Дальше раздолье для программного поиска в мат.пакетах: для данного $m!$ достаточно проверить в районе $2m$ комбинаций $(n,k)$ (и только составные $k$), поскольку $2\le k\le\left\lfloor\dfrac{\ln m!}{\ln (\lfloor\frac m 2\rfloor+1)}\right\rfloor<m$ и, для данного $k, \left\lfloor\dfrac m 2\right\rfloor+1\le n\le\left\lfloor\sqrt[k]{m!}\right\rfloor$ Можно устроить перебор по $k$, для каждого смело подставлять максимальное $n$ и уменьшать его, если результат превышает $m!$, до смены знака. Еще по пути полезно проверять, что $m!$ делится на $n$, но не на $n^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group