2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Зорич V.3.9c
Сообщение02.08.2018, 20:56 


23/04/18
143
Задача следующая
Нужно придумать такую функцию $f(x)$, определённую на всей числовой оси, что она дважды дифференцируема на всей этой оси, и что $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$,
где $M_0$, $M_1$, $M_2$ соответственно равны
$$\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\left\lvert f(x)\right\rvert, \sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\left\lvert f'(x)\right\rvert, \sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\left\lvert f''(x)\right\rvert$$
Мысли есть только по поводу того, какой приблизительно должна быть функция $f'(x)$.
Во-первых $f'(x)$ нигде не достигает ни $M_1$, ни $-M_1$ (так как иначе $f''(x)$ не была бы определена на той точке, где бы это число достигалось)
Во-вторых, чем ближе $f'(x)$ приближается в точке $y$, допустим, к $M_1$, тем ближе f'(x) на отрезке $[y-\frac{y}{M_2},y]$ к прямой, проходящей через точки $(y-\frac{y}{M_2},0)$, $(y,M_1)$,
а на отрезке $[y,y+\frac{y}{M_2}]$ к прямой, проходящей через точки $(y,M_1)$, $(y+\frac{y}{M_2},0)$
Аналогичный "почти что" зубец, только направленный вниз, получается при рассмотрении точек, в которых функция $f'(x)$ близка к $-M_1$
отсюда получаем, что на $\mathbb{R}$ можно построить бесконечную последовательность непересекающихся отрезков для которой верно, что в пределе форма функции $f'(x)$ на них стремиться к таким же остроконечным зубцам, направленным либо вниз, либо вверх
Как построить такую функцию, ума не приложу. Очень уж она выходит сложная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение02.08.2018, 20:59 
Заблокирован


16/04/18

1129
Между этими величинами есть неравенство, Ландау - Адамара - Колмогорова. На его экстремалях и будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение02.08.2018, 21:12 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
$f=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение02.08.2018, 21:18 


23/04/18
143
Цитата:
"pogulyat_vyshel в сообщении #1330234"]$f=0$

Да, что-то я затупил :facepalm: :roll: :lol1:
Слона вблизи не увидишь.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение02.08.2018, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Paul Ivanov в сообщении #1330235 писал(а):
Слона вблизи не увидишь.
Спасибо.
А Вы поняли вопрос задачи? Если да, то как нулевая функция может Вам помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 14:19 


23/04/18
143
grizzly в сообщении #1330243 писал(а):
Paul Ivanov в сообщении #1330235 писал(а):
Слона вблизи не увидишь.
Спасибо.
А Вы поняли вопрос задачи? Если да, то как нулевая функция может Вам помочь?

Очень просто, для нулевой функции $M_0=0$, $M_1=0$, $M_2=0$
Следовательно $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Что мне и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 14:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Там не это требовалось.
Для тождественно нулевой функции верно также $M_1=\sqrt{M_0M_2}$. А теперь еще раз смотрим, что требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Paul Ivanov в сообщении #1330542 писал(а):
Очень просто, для нулевой функции $M_0=0$, $M_1=0$, $M_2=0$
Следовательно $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Что мне и требовалось.
М-да.. А почему не $M_1=\displaystyel \frac{\sqrt{M_0M_2}}{2}$? Подставьте Ваши нули в эту формулу -- тоже подойдёт.

Я объясню, как формулировалась задача, раз уж я всё равно её нашёл.
Сначала в п.б) при указанных условиях нужно было доказать, что $M_1\le \sqrt{2M_0M_2}$. А в п.с) требовалось доказать, что константа 2 под корнем не может быть уменьшена. Равенством $0=0$ ничего такого доказать нельзя. Подумайте над этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 14:52 


23/04/18
143
grizzly в сообщении #1330545 писал(а):
Paul Ivanov в сообщении #1330542 писал(а):
Очень просто, для нулевой функции $M_0=0$, $M_1=0$, $M_2=0$
Следовательно $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Что мне и требовалось.
М-да.. А почему не $M_1=\displaystyel \frac{\sqrt{M_0M_2}}{2}$? Подставьте Ваши нули в эту формулу -- тоже подойдёт.

Я объясню, как формулировалась задача, раз уж я всё равно её нашёл.
Сначала в п.б) при указанных условиях нужно было доказать, что $M_1\le \sqrt{2M_0M_2}$. А в п.с) требовалось доказать, что константа 2 под корнем не может быть уменьшена. Равенством $0=0$ ничего такого доказать нельзя. Подумайте над этим.

Да, я не вдумался в вопрос. Вы правы. В таком случае всё, что писал, я писал не зря. Нужно придумать, такую $f$, чтобы было
$M_0\ne 0$.
ВОПРОС ОСТАЁТСЯ ОТКРЫТЫМ c Тем уточнением, что $M_0>0$

-- 04.08.2018, 15:02 --

novichok2018 в сообщении #1330231 писал(а):
Между этими величинами есть неравенство, Ландау - Адамара - Колмогорова. На его экстремалях и будет.

Просмотрел это неравенство. Оно я так понимаю использует понятия топологии. В любом случае, даже если не так, оно использует то, что я не проходил. А мне желательно доказать требуемое, используя только то, что я проходил. А я только начал проходить основные теоремы дифференциального исчисления (Зорич I том мат. анализа глава V параграф 3)
Даже если это неравенство тут срабатывает, его доказательство наверняка никак не может вписаться в тот небольшой материал, что я освоил.
Но всё равно спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Paul Ivanov в сообщении #1330547 писал(а):
В таком случае всё, что писал, я писал не зря.
Ну как же не зря? А вот это? :D
    Paul Ivanov в сообщении #1330230 писал(а):
    Во-первых $f'(x)$ нигде не достигает ни $M_1$, ни $-M_1$ (так как иначе $f''(x)$ не была бы определена на той точке, где бы это число достигалось)
Да возьмите любую хорошую и ограниченную функцию, синус, например. Что ж там, какие-то производные не существуют или супремум не достигается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 15:15 


23/04/18
143
grizzly в сообщении #1330550 писал(а):
Paul Ivanov в сообщении #1330547 писал(а):
В таком случае всё, что писал, я писал не зря.
Ну как же не зря? А вот это? :D
    Paul Ivanov в сообщении #1330230 писал(а):
    Во-первых $f'(x)$ нигде не достигает ни $M_1$, ни $-M_1$ (так как иначе $f''(x)$ не была бы определена на той точке, где бы это число достигалось)
Да возьмите любую хорошую и ограниченную функцию, синус, например. Что ж там, какие-то производные не существуют или супремум не достигается?

Надо наоборот, чтобы супремум вообще нигде не достигался.
Я про синус уже думал. Очень сложно его так подточить и исправить, чтобы соблюдались все требуемые в задаче и выведенные мною самим условия и чтобы при этом он имел соответствующие первообразную и производную. Я надеялся на то, что есть какой-то более красивый способ решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 21:14 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Paul Ivanov в сообщении #1330553 писал(а):
Надо наоборот, чтобы супремум вообще нигде не достигался.

ПАЧЕМУ??
Вообще, поиск "экстремальной" функции обычно достаточно ясно, как проводить: надо во всех оценках заменить неравенства равенствами - и решить полученную систему уравнений...

(Оффтоп)

А что будет для функции $f(x) = x(1-x)$, продолженной с отрезка $[0,1]$ "синусоидально?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 21:21 


23/04/18
143
DeBill в сообщении #1330623 писал(а):
Paul Ivanov в сообщении #1330553 писал(а):
Надо наоборот, чтобы супремум вообще нигде не достигался.

ПАЧЕМУ??
Вообще, поиск "экстремальной" функции обычно достаточно ясно, как проводить: надо во всех оценках заменить неравенства равенствами - и решить полученную систему уравнений...

(Оффтоп)

А что будет для функции $f(x) = x(1-x)$, продолженной с отрезка $[0,1]$ "синусоидально?"

DeBill, вы, видимо, невнимательно читали всё, что здесь было написано. А я писал, что если супремум $M_1$ в какой-то точке достигается, то в этой точке не определена вторая производная. Попрошу перед тем как что-то писать, вникнуть в вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Paul Ivanov в сообщении #1330625 писал(а):
А я писал, что если супремум $M_1$ в какой-то точке достигается, то в этой точке не определена вторая производная.
Так я же объяснял уже, что это Вы глупость написали. Вы лучше слушайте DeBill'а, он вник в этот вопрос задолго до того, как Вы его задали :D

Думаю, было бы правильнее всего попросить у Вас решение п.б) для всей прямой. Тогда станет понятно, в чём у Вас загвоздка. А то ведь решать за Вас всё равно никто здесь не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 21:31 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
:D Paul Ivanov
Ну, ПАЧЕМУ, собственно , и относилось к тому, что Вы писали...
А пример - посмотрели?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group