Зорич V.3.9c

[Paul Ivanov]

Задача следующая
Нужно придумать такую функцию $f(x)$, определённую на всей числовой оси, что она дважды дифференцируема на всей этой оси, и что $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$,
где $M_0$, $M_1$, $M_2$ соответственно равны

$$\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\left\lvert f(x)\right\rvert, \sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\left\lvert f'(x)\right\rvert, \sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\left\lvert f''(x)\right\rvert$$

Мысли есть только по поводу того, какой приблизительно должна быть функция $f'(x)$.
Во-первых $f'(x)$ нигде не достигает ни $M_1$, ни $-M_1$ (так как иначе $f''(x)$ не была бы определена на той точке, где бы это число достигалось)
Во-вторых, чем ближе $f'(x)$ приближается в точке $y$, допустим, к $M_1$, тем ближе f'(x) на отрезке $[y-\frac{y}{M_2},y]$ к прямой, проходящей через точки $(y-\frac{y}{M_2},0)$, $(y,M_1)$,
а на отрезке $[y,y+\frac{y}{M_2}]$ к прямой, проходящей через точки $(y,M_1)$, $(y+\frac{y}{M_2},0)$
Аналогичный "почти что" зубец, только направленный вниз, получается при рассмотрении точек, в которых функция $f'(x)$ близка к $-M_1$
отсюда получаем, что на $\mathbb{R}$ можно построить бесконечную последовательность непересекающихся отрезков для которой верно, что в пределе форма функции $f'(x)$ на них стремиться к таким же остроконечным зубцам, направленным либо вниз, либо вверх
Как построить такую функцию, ума не приложу. Очень уж она выходит сложная.

[novichok2018]

Между этими величинами есть неравенство, Ландау - Адамара - Колмогорова. На его экстремалях и будет.

[pogulyat_vyshel]

$f=0$

[Paul Ivanov]

Цитата:

"pogulyat_vyshel в сообщении #1330234"]$f=0$

Да, что-то я затупил
Слона вблизи не увидишь.
Спасибо.

[grizzly]

Paul Ivanov в сообщении #1330235 писал(а):

Слона вблизи не увидишь.
Спасибо.

А Вы поняли вопрос задачи? Если да, то как нулевая функция может Вам помочь?

[Paul Ivanov]

grizzly в сообщении #1330243 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330235 писал(а):

Слона вблизи не увидишь.
Спасибо.

А Вы поняли вопрос задачи? Если да, то как нулевая функция может Вам помочь?

Очень просто, для нулевой функции $M_0=0$, $M_1=0$, $M_2=0$
Следовательно $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Что мне и требовалось.

[Otta]

Там не это требовалось.
Для тождественно нулевой функции верно также $M_1=\sqrt{M_0M_2}$. А теперь еще раз смотрим, что требовалось.

[grizzly]

Paul Ivanov в сообщении #1330542 писал(а):

Очень просто, для нулевой функции $M_0=0$, $M_1=0$, $M_2=0$
Следовательно $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Что мне и требовалось.

М-да.. А почему не $M_1=\displaystyel \frac{\sqrt{M_0M_2}}{2}$? Подставьте Ваши нули в эту формулу -- тоже подойдёт.

Я объясню, как формулировалась задача, раз уж я всё равно её нашёл.
Сначала в п.б) при указанных условиях нужно было доказать, что $M_1\le \sqrt{2M_0M_2}$. А в п.с) требовалось доказать, что константа 2 под корнем не может быть уменьшена. Равенством $0=0$ ничего такого доказать нельзя. Подумайте над этим.

[Paul Ivanov]

grizzly в сообщении #1330545 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330542 писал(а):

Очень просто, для нулевой функции $M_0=0$, $M_1=0$, $M_2=0$
Следовательно $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Что мне и требовалось.

М-да.. А почему не $M_1=\displaystyel \frac{\sqrt{M_0M_2}}{2}$? Подставьте Ваши нули в эту формулу -- тоже подойдёт.

Я объясню, как формулировалась задача, раз уж я всё равно её нашёл.
Сначала в п.б) при указанных условиях нужно было доказать, что $M_1\le \sqrt{2M_0M_2}$. А в п.с) требовалось доказать, что константа 2 под корнем не может быть уменьшена. Равенством $0=0$ ничего такого доказать нельзя. Подумайте над этим.

Да, я не вдумался в вопрос. Вы правы. В таком случае всё, что писал, я писал не зря. Нужно придумать, такую $f$, чтобы было
$M_0\ne 0$.
ВОПРОС ОСТАЁТСЯ ОТКРЫТЫМ c Тем уточнением, что $M_0>0$

-- 04.08.2018, 15:02 --

novichok2018 в сообщении #1330231 писал(а):

Между этими величинами есть неравенство, Ландау - Адамара - Колмогорова. На его экстремалях и будет.

Просмотрел это неравенство. Оно я так понимаю использует понятия топологии. В любом случае, даже если не так, оно использует то, что я не проходил. А мне желательно доказать требуемое, используя только то, что я проходил. А я только начал проходить основные теоремы дифференциального исчисления (Зорич I том мат. анализа глава V параграф 3)
Даже если это неравенство тут срабатывает, его доказательство наверняка никак не может вписаться в тот небольшой материал, что я освоил.
Но всё равно спасибо.

[grizzly]

Paul Ivanov в сообщении #1330547 писал(а):

В таком случае всё, что писал, я писал не зря.

Ну как же не зря? А вот это?

Paul Ivanov в сообщении #1330230 писал(а):

Во-первых $f'(x)$ нигде не достигает ни $M_1$, ни $-M_1$ (так как иначе $f''(x)$ не была бы определена на той точке, где бы это число достигалось)

Да возьмите любую хорошую и ограниченную функцию, синус, например. Что ж там, какие-то производные не существуют или супремум не достигается?

[Paul Ivanov]

grizzly в сообщении #1330550 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330547 писал(а):

В таком случае всё, что писал, я писал не зря.

Ну как же не зря? А вот это?

Paul Ivanov в сообщении #1330230 писал(а):

Во-первых $f'(x)$ нигде не достигает ни $M_1$, ни $-M_1$ (так как иначе $f''(x)$ не была бы определена на той точке, где бы это число достигалось)

Да возьмите любую хорошую и ограниченную функцию, синус, например. Что ж там, какие-то производные не существуют или супремум не достигается?

Надо наоборот, чтобы супремум вообще нигде не достигался.
Я про синус уже думал. Очень сложно его так подточить и исправить, чтобы соблюдались все требуемые в задаче и выведенные мною самим условия и чтобы при этом он имел соответствующие первообразную и производную. Я надеялся на то, что есть какой-то более красивый способ решения.

[DeBill]

Paul Ivanov в сообщении #1330553 писал(а):

Надо наоборот, чтобы супремум вообще нигде не достигался.

ПАЧЕМУ??
Вообще, поиск "экстремальной" функции обычно достаточно ясно, как проводить: надо во всех оценках заменить неравенства равенствами - и решить полученную систему уравнений...

(Оффтоп)

А что будет для функции $f(x) = x(1-x)$, продолженной с отрезка $[0,1]$ "синусоидально?"

[Paul Ivanov]

DeBill в сообщении #1330623 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330553 писал(а):

Надо наоборот, чтобы супремум вообще нигде не достигался.

ПАЧЕМУ??
Вообще, поиск "экстремальной" функции обычно достаточно ясно, как проводить: надо во всех оценках заменить неравенства равенствами - и решить полученную систему уравнений...

(Оффтоп)

А что будет для функции $f(x) = x(1-x)$, продолженной с отрезка $[0,1]$ "синусоидально?"

DeBill, вы, видимо, невнимательно читали всё, что здесь было написано. А я писал, что если супремум $M_1$ в какой-то точке достигается, то в этой точке не определена вторая производная. Попрошу перед тем как что-то писать, вникнуть в вопрос.

[grizzly]

Paul Ivanov в сообщении #1330625 писал(а):

А я писал, что если супремум $M_1$ в какой-то точке достигается, то в этой точке не определена вторая производная.

Так я же объяснял уже, что это Вы глупость написали. Вы лучше слушайте DeBill'а, он вник в этот вопрос задолго до того, как Вы его задали

Думаю, было бы правильнее всего попросить у Вас решение п.б) для всей прямой. Тогда станет понятно, в чём у Вас загвоздка. А то ведь решать за Вас всё равно никто здесь не будет.

[DeBill]

Paul Ivanov
Ну, ПАЧЕМУ, собственно , и относилось к тому, что Вы писали...
А пример - посмотрели?