2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 21:57 


23/04/18
143
grizzly в сообщении #1330626 писал(а):
Paul Ivanov в сообщении #1330625 писал(а):
А я писал, что если супремум $M_1$ в какой-то точке достигается, то в этой точке не определена вторая производная.
Так я же объяснял уже, что это Вы глупость написали. Вы лучше слушайте DeBill'а, он вник в этот вопрос задолго до того, как Вы его задали :D

Думаю, было бы правильнее всего попросить у Вас решение п.б) для всей прямой. Тогда станет понятно, в чём у Вас загвоздка. А то ведь решать за Вас всё равно никто здесь не будет.

Хорошо, давайте объясню. Мы имеем, что $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Отсюда вытекает, что $M_2=\frac{M_1^2}{2M_0}$
Теперь простым нестрогим языком говоря.
Пусть $f'(x)$ в точке $x_0$ достигает, допустим $M_1$. Отсюда имеем что из точки $(x_0,M_1)$ функция как в направлении влево, так и в направлении вправо падает не быстрее, чем со скоростью $M_2$. Отсюда имеем, что на отрезке $[x_0-\frac{M_1}{M_2},x_0+\frac{M_1}{M_2}]$ функция $f(x)$ изменяется как минимум на $M_1\cdot \frac{M_1}{M_2}=2M_0$. Но мы знаем, что какой бы отрезок мы не рассматривали функция $f(x)$ на нём меняется максимум на $2M_0$. Следовательно, имеем, что на этом отрезке функция $f(x)$ меняется ровно на $2M_0$. Но это возможно только в том случае если функция $f(x)$ на этом отрезке представляет два отрезка: Отрезок с концами в точках $(x_0-\frac{M_1}{M_2},0)$, $(x_0, M_1)$ и отрезок с концами в $(x_0,M_1)$, $(x_0+\frac{M_1}{M_2},0)$, так как иначе функция f(x) на этом отрезке изменилась бы больше, чем на $2M_0$, что невозможно. Следовательно при таком построении $f''(x)$ не существует в $x_0$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Paul Ivanov в сообщении #1330634 писал(а):
Но это возможно только в том случае если функция $f(x)$ на этом отрезке представляет два отрезка: Отрезок с концами в точках $(x_0-\frac{M_1}{M_2},0)$, $(x_0, M_1)$ и отрезок с концами в $(x_0,M_1)$, $(x_0+\frac{M_1}{M_2},0)$,
Вы упустили, что функция может поменять знак (скажем, будет один двойной отрезок с минимумом слева и максимумом справа, а максимум производной будет достигаться посредине).

-- 04.08.2018, 22:41 --

В общем, если Вы хотите готовый ответ, то Вам уже его дали выше -- нужно только разобраться в примере. Если хотите решить, то нужно вернуться к доказательству п.б), я думаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение04.08.2018, 23:22 


23/04/18
143
grizzly в сообщении #1330639 писал(а):
Paul Ivanov в сообщении #1330634 писал(а):
Но это возможно только в том случае если функция $f(x)$ на этом отрезке представляет два отрезка: Отрезок с концами в точках $(x_0-\frac{M_1}{M_2},0)$, $(x_0, M_1)$ и отрезок с концами в $(x_0,M_1)$, $(x_0+\frac{M_1}{M_2},0)$,
Вы упустили, что функция может поменять знак (скажем, будет один двойной отрезок с минимумом слева и максимумом справа, а максимум производной будет достигаться посредине).

-- 04.08.2018, 22:41 --

В общем, если Вы хотите готовый ответ, то Вам уже его дали выше -- нужно только разобраться в примере. Если хотите решить, то нужно вернуться к доказательству п.б), я думаю.

Grizzly, я ничего не упустил, вы значит не до конца поняли. Допустим, что $f(x_0-\frac{M_1}{M_2})=A$, где $A\in [-M_0,M_0]$ тогда $f(x_0+\frac{M_1}{M_2})\geqslant A+2M_0$, откуда единственный вариант таков, что $f(x_0+\frac{M_1}{M_2})=A+2M_0$, откуда вытекает, что вторая производная в точке $x_0$ не существует. А то, что функция $f(x)$ на этом отрезке меняет знак совершенно не важно, как и то, что функция $f'(x)$ не меняет на этом отрезке знак совершенно очевидно, так как чтобы ей поменять знак ей в хоть какой-то момент нужно падать быстрее, чем со скоростью $M_2$. Так что либо вы чего-то не поняли, либо прошу вас дать мне реальный аргумент, почему я не прав.

-- 04.08.2018, 23:42 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение05.08.2018, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Paul Ivanov
Похоже, я торможу. Пример DeBill'а, как я его понял, не прокатит, там действительно вторая производная меняет знак в неподходящем месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение05.08.2018, 00:03 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Paul Ivanov
Ну, вроде, все верно у Вас.
Остается единственная возможность - когда "достигаемость" - на бесконечности...
А мой пример, конечно, не очень хорош: там "достигаемость" есть, и в этих точках второй производной благополучно нет...
Забавно:
1. Мой пример - после внимательного чтения выкладок ТС :D сооружается интегрированием кусочно-линейной функции, фактически им и построенной.
2. Пример , конечно, дает точность константы "корень из 2": надо только сгладить изломы малым возмущением
3. Вопрос меня заинтересовал, и я посмотрел литературу: там приводится (для доказательства точности константы) совершенно аналогичный кусочно-гладкий пример, с разрывом второй производной...
4. Однако, сглаживание, и периодическое продолжение приводит к строгому неравенству между Эм-ками. Можно, однако, сделать чуть аккуратнее: Именно, нарисуем периодический забор (график - из отрезков под углом 45, с нулевым интегралом по периоду) - для первой производной. Сгладим уголки дугами парабол - чтоб вторая производная существовала (верний-нижний - одинаково, и чем дальше в лес - тем меньшей дужкой). Функцию восстановим интегрированием. Вроде - получится (аккуратно не проверял)

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение05.08.2018, 06:34 


20/03/14
12041
 !  Paul Ivanov
Используйте кнопку "Вставка" для выборочного цитирования выделенного фрагмента, избегайте избыточного цитирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.9c
Сообщение05.08.2018, 20:13 


23/04/18
143
DeBill в сообщении #1330656 писал(а):
4. Однако, сглаживание, и периодическое продолжение приводит к строгому неравенству между Эм-ками. Можно, однако, сделать чуть аккуратнее: Именно, нарисуем периодический забор (график - из отрезков под углом 45, с нулевым интегралом по периоду) - для первой производной. Сгладим уголки дугами парабол - чтоб вторая производная существовала (верний-нижний - одинаково, и чем дальше в лес - тем меньшей дужкой). Функцию восстановим интегрированием. Вроде - получится (аккуратно не проверял)

Да, всё действительно гладко получается, не додумался я сглаживать углы параболами, спасибо за идею :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group