Зорич V.3.9c

[Paul Ivanov]

grizzly в сообщении #1330626 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330625 писал(а):

А я писал, что если супремум $M_1$ в какой-то точке достигается, то в этой точке не определена вторая производная.

Так я же объяснял уже, что это Вы глупость написали. Вы лучше слушайте DeBill'а, он вник в этот вопрос задолго до того, как Вы его задали

Думаю, было бы правильнее всего попросить у Вас решение п.б) для всей прямой. Тогда станет понятно, в чём у Вас загвоздка. А то ведь решать за Вас всё равно никто здесь не будет.

Хорошо, давайте объясню. Мы имеем, что $M_1=\sqrt{2M_0M_2}$
Отсюда вытекает, что $M_2=\frac{M_1^2}{2M_0}$
Теперь простым нестрогим языком говоря.
Пусть $f'(x)$ в точке $x_0$ достигает, допустим $M_1$. Отсюда имеем что из точки $(x_0,M_1)$ функция как в направлении влево, так и в направлении вправо падает не быстрее, чем со скоростью $M_2$. Отсюда имеем, что на отрезке $[x_0-\frac{M_1}{M_2},x_0+\frac{M_1}{M_2}]$ функция $f(x)$ изменяется как минимум на $M_1\cdot \frac{M_1}{M_2}=2M_0$. Но мы знаем, что какой бы отрезок мы не рассматривали функция $f(x)$ на нём меняется максимум на $2M_0$. Следовательно, имеем, что на этом отрезке функция $f(x)$ меняется ровно на $2M_0$. Но это возможно только в том случае если функция $f(x)$ на этом отрезке представляет два отрезка: Отрезок с концами в точках $(x_0-\frac{M_1}{M_2},0)$, $(x_0, M_1)$ и отрезок с концами в $(x_0,M_1)$, $(x_0+\frac{M_1}{M_2},0)$, так как иначе функция f(x) на этом отрезке изменилась бы больше, чем на $2M_0$, что невозможно. Следовательно при таком построении $f''(x)$ не существует в $x_0$. Противоречие.

[grizzly]

Paul Ivanov в сообщении #1330634 писал(а):

Но это возможно только в том случае если функция $f(x)$ на этом отрезке представляет два отрезка: Отрезок с концами в точках $(x_0-\frac{M_1}{M_2},0)$, $(x_0, M_1)$ и отрезок с концами в $(x_0,M_1)$, $(x_0+\frac{M_1}{M_2},0)$,

Вы упустили, что функция может поменять знак (скажем, будет один двойной отрезок с минимумом слева и максимумом справа, а максимум производной будет достигаться посредине).

-- 04.08.2018, 22:41 --

В общем, если Вы хотите готовый ответ, то Вам уже его дали выше -- нужно только разобраться в примере. Если хотите решить, то нужно вернуться к доказательству п.б), я думаю.

[Paul Ivanov]

grizzly в сообщении #1330639 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330634 писал(а):

Но это возможно только в том случае если функция $f(x)$ на этом отрезке представляет два отрезка: Отрезок с концами в точках $(x_0-\frac{M_1}{M_2},0)$, $(x_0, M_1)$ и отрезок с концами в $(x_0,M_1)$, $(x_0+\frac{M_1}{M_2},0)$,

Вы упустили, что функция может поменять знак (скажем, будет один двойной отрезок с минимумом слева и максимумом справа, а максимум производной будет достигаться посредине).

-- 04.08.2018, 22:41 --

В общем, если Вы хотите готовый ответ, то Вам уже его дали выше -- нужно только разобраться в примере. Если хотите решить, то нужно вернуться к доказательству п.б), я думаю.

Grizzly, я ничего не упустил, вы значит не до конца поняли. Допустим, что $f(x_0-\frac{M_1}{M_2})=A$, где $A\in [-M_0,M_0]$ тогда $f(x_0+\frac{M_1}{M_2})\geqslant A+2M_0$, откуда единственный вариант таков, что $f(x_0+\frac{M_1}{M_2})=A+2M_0$, откуда вытекает, что вторая производная в точке $x_0$ не существует. А то, что функция $f(x)$ на этом отрезке меняет знак совершенно не важно, как и то, что функция $f'(x)$ не меняет на этом отрезке знак совершенно очевидно, так как чтобы ей поменять знак ей в хоть какой-то момент нужно падать быстрее, чем со скоростью $M_2$. Так что либо вы чего-то не поняли, либо прошу вас дать мне реальный аргумент, почему я не прав.

-- 04.08.2018, 23:42 --

[grizzly]

Paul Ivanov
Похоже, я торможу. Пример DeBill'а, как я его понял, не прокатит, там действительно вторая производная меняет знак в неподходящем месте.

[DeBill]

Paul Ivanov
Ну, вроде, все верно у Вас.
Остается единственная возможность - когда "достигаемость" - на бесконечности...
А мой пример, конечно, не очень хорош: там "достигаемость" есть, и в этих точках второй производной благополучно нет...
Забавно:
1. Мой пример - после внимательного чтения выкладок ТС сооружается интегрированием кусочно-линейной функции, фактически им и построенной.
2. Пример , конечно, дает точность константы "корень из 2": надо только сгладить изломы малым возмущением
3. Вопрос меня заинтересовал, и я посмотрел литературу: там приводится (для доказательства точности константы) совершенно аналогичный кусочно-гладкий пример, с разрывом второй производной...
4. Однако, сглаживание, и периодическое продолжение приводит к строгому неравенству между Эм-ками. Можно, однако, сделать чуть аккуратнее: Именно, нарисуем периодический забор (график - из отрезков под углом 45, с нулевым интегралом по периоду) - для первой производной. Сгладим уголки дугами парабол - чтоб вторая производная существовала (верний-нижний - одинаково, и чем дальше в лес - тем меньшей дужкой). Функцию восстановим интегрированием. Вроде - получится (аккуратно не проверял)

[Lia]

Paul Ivanov
Используйте кнопку "Вставка" для выборочного цитирования выделенного фрагмента, избегайте избыточного цитирования.

[Paul Ivanov]

DeBill в сообщении #1330656 писал(а):

4. Однако, сглаживание, и периодическое продолжение приводит к строгому неравенству между Эм-ками. Можно, однако, сделать чуть аккуратнее: Именно, нарисуем периодический забор (график - из отрезков под углом 45, с нулевым интегралом по периоду) - для первой производной. Сгладим уголки дугами парабол - чтоб вторая производная существовала (верний-нижний - одинаково, и чем дальше в лес - тем меньшей дужкой). Функцию восстановим интегрированием. Вроде - получится (аккуратно не проверял)

Да, всё действительно гладко получается, не додумался я сглаживать углы параболами, спасибо за идею