Непрерывность функции на промежутке

[szh]

Добрый день,

Решил переучить матанализ.

Столкнулся с такой задачей, как непрерывность функции конкретно на конечном промежутке, например, $[a, b]$. Условие непрерывности функции на промежутке очень часто встречается в разных теоремах.

Но никак не могу найти примеры доказательств. У меня есть руководство к решению задач по матанализу Запорожца Г.И., руководство к решению задач по матанализу, теории вероятностей и матстатистике Лихолетова И.И., задачник по матанализу Виленкина Н.Я. Там можно найти доказательства непрерывности в точке непосредственно из определения непрерывности в точке, но нет задач, как находить непрерывность функции на промежутке. Дано только определение: "Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна на всех точках этого промежутка".

Но как бы каждую точку промежутка нет смысла проверять. Тем более, если это промежуток действительных чисел.

Как, например, доказать непрерывность функции $y = 1 - \sqrt[3]{x^2}$ на промежутке $[-1, 1]$? Функция непрерывна на концах этого промежутка, т.е. при $x = -1$ и $x = 1$. А как доказывать дальше?

[gris]

Есть ряд теорем о непрерывности суммы непрерывных функций, сложной функции и так далее. Но можно доказать и "по определению в терминах эпсилон-дельта". Просто берём точку $x_0$, принадлежащую промежутку, и разбираемся с ней через соответствующий предел. И обобщаем на все точки. А с концами не всё просто. На концах тоже надо доказывать непрерывность, бывает, одностороннюю. Но часто функция непрерывна на всей оси, то есть на любом отрезке.
Иногда доказательство непрерывности входит в определение функции. Например, показательную функцию определяют вначале для рациональных чисел, а потом как раз "по непрерыности" доопределяют до иррациональности. Но это есть в учебниках в параграфах "Непрерывность элементарных функций". Например, Кудрявцев "Курс МА" Гл. 1, параграф 7.

[mihaild]

По определению, взять произвольную точку $x_0$ и доказать непрерывность в ней.
К нам пришли с точкой $x_0$ и числом $\varepsilon$, мы хотим найти такое $\delta$, чтобы в $\delta$-окрестности $x_0$ функция отличалась от своего значения в $x_0$ не больше чем на $\varepsilon$.
Нужно проверить, что существует такое $\delta$, что $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ выполнено $|(1 - \sqrt[3]{x_0^2}) - (1 - \sqrt[3]{x^2})| < \varepsilon$. При этом $\delta$ имеет право зависеть от $\varepsilon$ и $x_0$.

[demolishka]

szh в сообщении #1329831 писал(а):

Но как бы каждую точку промежутка нет смысла проверять.

Каждую точку в отдельности проверять смысла нет, но, как правило, проверка непрерывности сразу для "многих" точек оказывается одинаковой. Например, для функции

$$f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}, x\not=0, \\1,x=0 \end{cases}$$

все точки в этом смысле разделяются на два семейства: $x_{0} \not=0$ и $x_{0}=0$. В произвольной точке первого семейства функция непрерывна как частное непрерывных функций, где функция в знаменателе не обращается в ноль. Непрерывность в точке $x_{0}=0$ проверяется отдельно и этот факт известен как "первый замечательный предел".

[vpb]

szh
"Переучить матанализ" --- намерение само по себе неплохое. Однако, прежде всего и перво-наперво: книги, которые Вы выбрали ("пособия к решению задач по высшей математике" для заочников; очень странный выбор!), для этого совершенно не подходят. Рекомендую Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления,
или в крайнем случае его же Основы математического анализа. Однако при этом вводную главу, в которой речь идет о вещественных числах, можно и пропустить (или бегло просмотреть, если поймете, о чем там речь идет).

[szh]

Как я понял, не всегда целесообразно доказывать непрерывность функции на ограниченном промежутке непосредственно через определение непрерывности. В книге Основы матанализа Ильина и Позняка видел доказательство для линейной функции $y = x$ на основе определения предела того, что $\lim\limits_{x \to a} x = a$. А это и есть доказательство её непрерывности на всей области определения. То же видел и для постоянной функции $y = C$. Далее, на основе теорем умножения и сложения непрерывных функций можно доказать непрерывность остальных функций, например, степенной $y = x^n$. В моём примере $y = 1 - \sqrt[3]{x^2}$ функция, исходя из этих теорем, будет непрерывна на всей своей области определения, а значит и будет непрерывна на отрезке $[-1, 1]$.

Но с доказательством непосредственно через определение "$\varepsilon - \delta$" непрерывности не совсем понял.

gris в сообщении #1329832 писал(а):

Есть ряд теорем о непрерывности суммы непрерывных функций, сложной функции и так далее. Но можно доказать и "по определению в терминах эпсилон-дельта". Просто берём точку $x_0$, принадлежащую промежутку, и разбираемся с ней через соответствующий предел. И обобщаем на все точки....

Т.е., можно взять любую точку, например, $x_0 = 0$ и вычислять для неё предел? А далее обобщить на все точки промежутка?

[Someone]

szh в сообщении #1330300 писал(а):

Т.е., можно взять любую точку, например, $x_0 = 0$ и вычислять для неё предел? А далее обобщить на все точки промежутка?

Нет. Вы должны изложить доказательство сразу для произвольного $x_0$, не конкретизируя его значение; если это доказательство по какой-то причине проходит не для всех $x_0$, нужно оговорить, для каких не проходит, и потом рассмотреть эти значения отдельно. Пример.

[vpb]

А для функции $y=x^2$ доказать непрерывность в точке $x=-3$ на языке $\varepsilon$-$\delta$ сможете ?

[szh]

vpb в сообщении #1330312 писал(а):

А для функции $y=x^2$ доказать непрерывность в точке $x=-3$ на языке $\varepsilon$-$\delta$ сможете ?

Ну вот как-то не очень. Есть три тесно связанных между собой определения непрерывности. Доказательство с использованием первых двух построить получилось, а при помощи $\varepsilon - \delta$ пока нет.

1) Для того, чтобы функция была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому приращению аргумента соответствовало бесконечно малое приращение функции, т.е. $\lim\limits_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$. В нашем случае $f(x_0) = f(-3) = (-3)^2 = 9$. Приращение $f(x_0 + \Delta x) = f(-3 + \Delta x) = (-3 + \Delta x)^2 = 9 - 6 \Delta x + \Delta x^2$, Тогда предел

$\lim \limits_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (-6\Delta x + \Delta x^2) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}(-6) \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x$

Как упоминал ранее, непосредственно на основе определения предела доказывается, что $\lim\limits_{x \to a} x = a$, $\lim\limits_{x \to a} C = C$. Поэтому $(-6) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$. Доказано.

2) Не составляет труда доказать и по определению непрерывности $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) $\varepsilon -\delta$ определение непрерывности --- не что иное, как определение предела по Коши, только вместо произвольного предела берется частное значение функции в точке. Для квадратичной функции необходимо показать, что по любому $\varepsilon > 0$ можно подобрать $\delta > 0$ так, что как только $|x + 3| < \delta$, $|x^2 - 9| < \varepsilon$. Далее пока не знаю.

В целом, как мне кажется, я понял, как доказывать непрерывность на отдельных отрезках. Доказывается непрерывность функции на всей области определения. Далее делается вывод от общего к частному: если функция определена на этом отрезке, и ранее доказано, что она непрерывна на всей области определения, то она непрерывна и на этом отрезке.

[Otta]

szh
Тут вот какое дело. Тут дело в том, что когда Вы говорите, что умеете доказывать

szh в сообщении #1330948 писал(а):

по определению непрерывности $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

- Вы что делаете? Вы пишете что-то типа $\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$. А почему Вы это пишете? Ну, задумайтесь немножко. Что Вы делаете? Вы подставляете аргумент в функцию. А когда так можно делать? А когда функция непрерывна и только в этом случае (см. цитату выше). То есть, Вы не умеете доказывать непрерывность, Вы ею неявно пользуетесь.

А доказать можно только или
- вспомнив, что функция относится к элементарным, а если Вам их определяли, то в определение каждой из них входит, что она непрерывна,
- либо ссылаясь на теорему о произведении непрерывных (из пушек по воробьям, конечно, ну а куда деваться),
- либо по определению, через эпсилон-дельта.
Если Вы еще не учились на первом курсе, то и не надо, может, мне Вам раньше времени борозду портить.

[vpb]

Цитата:

3) $\varepsilon -\delta$ определение непрерывности --- не что иное, как определение предела по Коши, только вместо произвольного предела берется частное значение функции в точке. Для квадратичной функции необходимо показать, что по любому $\varepsilon > 0$ можно подобрать $\delta > 0$ так, что как только $|x + 3| < \delta$, $|x^2 - 9| < \varepsilon$. Далее пока не знаю.

Ну, подберите какое-нибудь $\delta$ для $\varepsilon=0,5$ (и докажите ! что оно подходит). Это в данном конкретном случае. А вообще же, теорему о том, что сумма и произведение непрерывных функций тоже непрерывны Вы, как я понимаю, изучали. Так там же внутри доказательства фактически содержится рецепт, как находить $\delta$. Перечитайте это доказательство, подумайте, как рассуждения из него можно приложить в данном конкретном случае.

-- 07.08.2018, 01:40 --

Otta в сообщении #1330968 писал(а):

Если Вы еще не учились на первом курсе, то и не надо, может, мне Вам раньше времени борозду портить.

У меня по началу темы сложилось впечатление, что ТС --- отнюдь не школьник, скорее наоборот (человек, когда-то давно получивший заушное в/о, а может быть, получающий его сейчас).

[Otta]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1330977 писал(а):

У меня по началу темы сложилось впечатление, что ТС --- отнюдь не школьник, скорее наоборот (человек, когда-то давно получивший заушное в/о, а может быть, получающий его сейчас).

Ой, сорри, я не посмотрела. То есть не посмотрела, кому отвечаю, а не вообще ))
Ну тогда пущай доказывает.

[szh]

vpb в сообщении #1330977 писал(а):

А вообще же, теорему о том, что сумма и произведение непрерывных функций тоже непрерывны Вы, как я понимаю, изучали. Так там же внутри доказательства фактически содержится рецепт, как находить $\delta$. Перечитайте это доказательство, подумайте, как рассуждения из него можно приложить в данном конкретном случае.

В учебниках Фихтенгольца/Пискунова доказательство непрерывности суммы/произведения строится на теоремах о сумме/произведении пределов. Предполагается, что две функции непрерывны, тогда предел их суммы $\lim\limits_{x \to x_0} \psi (x) = \lim\limits_{x \to x_0} (f_1(x) + f_2(x)) = \lim\limits_{x \to x_0} f_1(x) + \lim\limits_{x \to x_0} f_2(x) = f_1(x_0) + f_2(x_0)$. Вы имеете ввиду такое доказательство?

[Otta]

Нет, имеется в виду "анатомия" этого доказательства - то есть в Вашем случае лучше прочитать, как доказывается, что предел суммы и произведения равен... ну тому, чему равен. Обычно это делается на языке эпсилон-дельта как раз, но я опасаюсь, что Вы сейчас найдете без него ) Найдите с ним.

[szh]

vpb в сообщении #1330312 писал(а):

А для функции $y=x^2$ доказать непрерывность в точке $x=-3$ на языке $\varepsilon$-$\delta$ сможете ?

Изначально пытался разложить $x^2 - 9$ на множители. Но потом выделил полный квадрат: $|x^2 - 9| < \varepsilon \Leftrightarrow |x^2 + 6x + 9 - 6x - 9 - 9| < \varepsilon \Leftrightarrow |(x + 3)^2 + (-6x - 18)| < \varepsilon$.

Как известно, $|a + b| \leq |a| + |b|$ (а $|ab| = |a| \cdot |b|$) поэтому если $|a| + |b| < \varepsilon$, то и $|a + b| < \varepsilon$. Тогда $|(x + 3)^2 + (-6x - 18)| \leq |(x + 3)^2| + |-6x - 18| = |(x + 3)^2| + |-6x - 18| = |(x + 3)^2| + |-6| \cdot |x + 3| = |(x + 3)^2| + 6|x + 3| < \varepsilon$.

Далее можно применить замену переменной $|x + 3| = z$ и решить квадратное неравенство $z^2 + 6z -\varepsilon < 0$. Получится $z \in (-\sqrt{9 + \varepsilon} - 3; \sqrt{9 + \varepsilon} - 3)$. Но модуль положителен, поэтому $|x + 3| < \sqrt{9 + \varepsilon} - 3 = \delta$.