Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.

[Solaris86]

Хочу для себя прояснить некоторые непонятные моменты, чтобы при встрече с ними в тексте или в чьей-либо речи правильно понимать, о чём идёт речь. Накопившиеся вопросы по этой теме такие:
1. Приближения. Я так понимаю, что приближение - это есть попытка описания какого-то явления с некоторыми допущения. Вопрос такой: как осуществляется градация приближений? Слышал фразы: "В первом приближении", "Во втором приближении" и т.п., но не понимал, что имеется в виду.
2. Пренебрежения:
1) где границы применения знаков $\ll$ и $\gg$; допустим, есть величина $A_1$ и величина $A_2$, $A_2 > A_1$. Когда я имею право написать $A_2 \gg A_1$? Я предположил, что $A_2 \gg A_1$ в случае, если $\frac{A_2}{A_1} \geqslant 10^3 $. Это верно?
2) где границы применения приставки "квази-"; допустим, есть те же величины $A_1$ и $A_2$, $A_2 > A_1$, при этом величина $A_2$ отражает какой-то процесс $P_2$, а величина $A_1$ - иной процесс $P_1$, очень близкий по свойству $A$ процессу $P_2$. В каких пределах должно находиться соотношение $\frac{A_2}{A_1}$: $10^0<\frac{A_2}{A_1} \leqslant 10^?$, чтобы считать процесс $P_1$ квазипроцессом $P_2$, то есть $P_1$ - это квази$P_2$?
3) при выводе каких-либо формул в физике можно пренебрегать каким-либо слагаемым только в случае, если оно много меньше всех остальных?
3. Помогите понять распространённую фразу среди математиков и физиков: "С точностью до...": с точностью до запятой, с точностью до знака, с точноcтью до постоянного множителя и др.
Если можно, конкретные примеры для конкретной фразы.

[Pphantom]

В общем-то во всех случаях конкретного ответа нет, вкладываемый во все это смысл сильнейшим образом зависит от контекста, причем предполагается, что слышащий/читающий это в курсе контекста.

[Eule_A]

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):

"С точностью до...": с точностью до запятой, с точностью до знака, с точноcтью до постоянного множителя и др.
Если можно, конкретные примеры для конкретной фразы.

Пожалуйста. С точностью до членов порядка $x^2$ включительно при $x\to 0$

$$e^x\simeq 1+x+\frac{1}{2}x^2.$$

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):

1. Приближения. Я так понимаю, что приближение - это есть попытка описания какого-то явления с некоторыми допущения. Вопрос такой: как осуществляется градация приближений? Слышал фразы: "В первом приближении", "Во втором приближении" и т.п., но не понимал, что имеется в виду.

В физике подразумевается, что есть какие-то эффекты, факторы, вклады, оказывающие влияние на явление. И их можно количественно оценить и отсортировать по величине. И потом, их можно включать в рассмотрение под одному, по порядку убывания их величины.

В математике часто встречаются задачи, которые решаются цепочкой шагов. И можно за грубый ответ взять результат первого шага, за более точный - результат второго шага, и так далее. (А абсолютно точный ответ получается за бесконечное число шагов.) Наиболее часто рассматривается разложение некоторой функции в ряд типа ряда Тейлора

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x+\tfrac{1}{2!}f''(x_0)\,\Delta x^{2}+\ldots,$$

и частичные суммы этого ряда называются нулевым, первым, вторым приближением, и т. д. Однако бывают и случаи, когда решается какая-то итерационная задача, и "приближения" нумеруют итерации решения.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):

2. Пренебрежения:
1) где границы применения знаков $\ll$ и $\gg$; допустим, есть величина $A_1$ и величина $A_2$, $A_2 > A_1$. Когда я имею право написать $A_2 \gg A_1$? Я предположил, что $A_2 \gg A_1$ в случае, если $\frac{A_2}{A_1} \geqslant 10^3 $. Это верно?

В основном знак $A_2\gg A_1$ означает, что величиной $A_1$ можно пренебречь в сравнении с величиной $A_2.$ Вычисления приводятся к виду функций от $\tfrac{A_1}{A_2},$ и от них берётся первый неисчезающий член ряда Тейлора в нуле. Чаще всего это 0-й член или 1-й член, редко 2-й член.

Вот пример:

Munin в сообщении #1322977 писал(а):

Ваш рост (от земли до уровня глаз) 1 м 70 см. На каком расстоянии от вас находится горизонт?

SNet в сообщении #1322979 писал(а):

$\sqrt{2hR + h^2}$, где $R$ -- радиус Земли, $h$ -- мой рост (который чуть выше 1,7 м :D ). Красивая задача, спасибо!

Munin в сообщении #1322985 писал(а):

Смотрите. $\sqrt{2hR+h^2}=\sqrt{h(2R+h)}.$ А каково отношение $h$ к $2R$? По порядку величины - 1 к десяти миллионам. (Коэффициенты типа "полтора" в таких рассуждениях не учитываются.) Значит, если мы уберём слагаемое ${}+h$ из множителя $(R+h),$ то ошибёмся только в седьмом знаке после запятой. Заметьте, ведь мы и $R$ знаем намного грубее, так что реально мы даже и учесть это слагаемое не можем!

Теперь следующий шаг. А насколько у нас испортится результат расчёта по формуле? Представим её в виде $\sqrt{2Rh(1+\tfrac{h}{2R})}$ - а заменяем мы её на, соответственно, $\sqrt{2Rh}.$ Значит, нам надо оценить, насколько $\sqrt{1+\tfrac{h}{2R}}$ отличается от единицы, когда слагаемое $\tfrac{h}{2R}$ мало́. Это вполне математический вопрос, ответ на который


$\sqrt{1+\alpha}\approx 1+\tfrac{\alpha}{2}$

может быть найден через производную от $\sqrt{x}$ в окрестности точки $x=1.$ Мы видим, что ошибка в седьмом знаке - остаётся в седьмом же знаке после запятой. И смело машем на неё рукой: расстояние до горизонта около 5 километров, а ошибка получается в масштабе долей миллиметра!

-- 27.06.2018 19:07:36 --

$(1+\alpha)^n\approx 1+n\alpha$
$a^\alpha\approx 1+\alpha\ln a$
$\log_a(1+\alpha)\approx\tfrac{\alpha}{\ln a}$
$\sin\alpha\approx\alpha\approx\tg\alpha$
$\cos\alpha\approx 1,\quad \cos\alpha\approx 1-\tfrac{\alpha^2}{2}$

Численно в задачах физики бывает так, что пренебрегают величинами $10^{-1},$ хотя чаще это величины порядка $10^{-2}\text{-}10^{-3}.$ Более точные расчёты обычно делаются при конструировании конкретных технических конструкций, экспериментальных приборов и методик, и требуемая точность может доходить до $10^{-8}$ и выше.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):

где границы применения приставки "квази-"

Обычно она применяется не количественно, а по смыслу.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):

3) при выводе каких-либо формул в физике можно пренебрегать каким-либо слагаемым только в случае, если оно много меньше всех остальных?

Всё зависит от того, какие требования по точности предъявляются к окончательному ответу.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):

3. Помогите понять распространённую фразу среди математиков и физиков: "С точностью до...": с точностью до запятой, с точностью до знака, с точноcтью до постоянного множителя и др.

"До запятой" никогда не слышал.

"До $k$ знаков" - означает, что в числах следует удерживать самое меньшее $k$ значимых десятичных цифр, то есть относительная погрешность должна быть $\delta\lesssim 10^{-k}.$ Формулы нельзя упрощать, если совершаемая ошибка больше этой величины.

"До постоянного множителя" - это распространённый приём упрощения расчётов, ещё его называют "с точностью до порядка". Если относительная погрешность допускается в пределах $\delta\lesssim 10^1,$ то можно выбросить из формул всякие множители типа $2\pi,4\pi,3!,$ а многие операции типа дифференцирования и интегрирования заменить грубыми оценками, например, $\int_a^b f(x)\,dx\to \max f\cdot(b-a).$

[warlock66613]

Выражение "с точностью до запятой" используется в контексте устных или псевдо-устных вычислений (пример: "нетрудно сообразить, что $1{,}1 \times 1{,}2 = 132$ с точностью до запятой"). Означает "цифры результата вот такие-то вот, а в каком месте будет запятая, посчитаем потом отдельно".

-- 30.07.2018, 16:46 --

"C точностью до знака" используется в тех случаях, когда по каким-то причинам знак величины неважен или очевиден. Синоним "по абсолютной величине". Пример: "с точностью до знака, заряд электрона равен заряду протона".

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1329558 писал(а):

"с точностью до запятой"

А-а-а!!! Не сообразил!

(В контексте физики, скорее сначала посчитают порядок, и уж потом только при уточнении - значащие цифры результата.)

Тогда мне вспоминаются ещё "с точностью до нормировки", "с точностью до калибровки", "с точностью до слагаемого / множителя данного вида" (например, "с точностью до константы интегрирования"), "с точностью до выбора сигнатуры / соглашения о знаках", и т. п.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Пётр Маковецкий - Смотри в корень!

Задача 110. Никто не обнимет необъятного писал(а):

На столе лежит знаменитое ньютоновское яблоко, участвовавшее в открытии закона всемирного тяготения (если оно почему-либо внушает робость, то пусть будет обычное, с базара).
Что нужно было бы принять во внимание, чтобы вычислить абсолютно точно ту силу, с которой яблоко в данный момент давит на стол?
....
....
....

Плюнь тому в глаза, кто скажет, что можно обнять необъятное!
Козьма Прутков. «Мысли и афоризмы», №104.

1. Масса яблока меняется во времени: испарение воды под действием тепла и солнечных лучей (либо отсыревание от атмосферной влаги); выделение и поглощение газов из-за продолжающихся химических реакций, сопровождающих созревание, фотосинтез, гниение; вылет электронов под действием световых, рентгеновских и гамма-лучей; поглощение бомбардирующих яблоко протонов, нейтронов, электронов, световых и других квантов; излучение собственных радиоволн и поглощение радиоволн, излучаемых вами, и т.д. – все это влияет на массу яблока.

2. Ускорение свободного падения меняется и в пространстве, и во времени. В пространстве – зависит от географической широты (потому что Земля – не шар, а геоид), от высоты над уровнем моря (обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли). Поскольку маловероятно, чтобы при переносе яблока с базара на стол ничуть не изменилась ни его широта, ни высота, над уровнем моря, то по этим причинам ускорение свободного падения стало иным*. Яблоко несимметрично, поэтому, перевернув его на другой бок, вы изменили бы высоту его центра масс и, следовательно, ускорение свободного падения. Земной шар неоднороден, по отношению к столу массы внутри шара расположены иначе, чем по отношению к базару, изменилось положение яблока и по отношению к другим массам – домам, деревьям и т.д.

* Более того, ускорение свободного падения неодинаково даже по отношению к двум чашкам весов. Поэтому, переставив местами гирю и яблоко, мы в принципе должны получить иные результаты.

Все это надо учитывать при абсолютно точном решении вопроса.

Во времени ускорение свободного падения меняется из-за непрерывного перемещения масс внутри земного шара, роста одних гор и понижения других; из-за перемещения морских волн, облаков, бульдозеров, пешеходов и бактерий; из-за непрерывного возрастания массы Земли благодаря выпадению метеорной пыли и уменьшения массы благодаря отлету экспедиции на Венеру.

[Solaris86]

Спасибо за ответы!
Поясните, пжлста, использованные знаки $\simeq$ и $\lesssim$, раньше таких не видел.

[Munin]

$\lesssim$ я использую в значении "сравнимо по порядку величины, или меньше".

$\simeq$ мне самому интересно.

[worm2]

Munin в сообщении #1330350 писал(а):

$\simeq$ мне самому интересно.

Это и впрямь не однозначно. Вот тут: https://math.stackexchange.com/questions/1656013/meaning-of-simeq-symbol пишут, что это может обозначать "изоморфно", "асимптотически эквивалентно", а также не совсем правильно используется как обычное "приближённо равно" ($\approx$).

[Solaris86]

Eule_A
Можете тогда вы пояснить, что имели в виду под знаком $\simeq$?

[Korvin]

warlock66613 в сообщении #1329558 писал(а):

Выражение "с точностью до запятой" используется в контексте устных или псевдо-устных вычислений

Это из области расчетов на логарифмической линейке, где сначала перемещением движка и визира определялись значащие цифры (не более 3), а затем грубым устным подсчетом определялся порядок величины, и соответственно место запятой. В музеях до сих пор лежат линейки знаменитых инженеров, например Королева и пр. С собой при проходе по цехам носилась обычно половинная 12,5 см, умещалась в нагрудном кармане спецовки (круглая циферблатная - плохой тон), на рабочем месте лежала полная 25 см. Слышал про уникальные метровые, но в жизни не видал.