2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение28.07.2018, 17:40 


28/01/15
662
Хочу для себя прояснить некоторые непонятные моменты, чтобы при встрече с ними в тексте или в чьей-либо речи правильно понимать, о чём идёт речь. Накопившиеся вопросы по этой теме такие:
1. Приближения. Я так понимаю, что приближение - это есть попытка описания какого-то явления с некоторыми допущения. Вопрос такой: как осуществляется градация приближений? Слышал фразы: "В первом приближении", "Во втором приближении" и т.п., но не понимал, что имеется в виду.
2. Пренебрежения:
1) где границы применения знаков $\ll$ и $\gg$; допустим, есть величина $A_1$ и величина $A_2$, $A_2 > A_1$. Когда я имею право написать $A_2 \gg A_1$? Я предположил, что $A_2 \gg A_1$ в случае, если $\frac{A_2}{A_1} \geqslant 10^3 $. Это верно?
2) где границы применения приставки "квази-"; допустим, есть те же величины $A_1$ и $A_2$, $A_2 > A_1$, при этом величина $A_2$ отражает какой-то процесс $P_2$, а величина $A_1$ - иной процесс $P_1$, очень близкий по свойству $A$ процессу $P_2$. В каких пределах должно находиться соотношение $\frac{A_2}{A_1}$: $10^0<\frac{A_2}{A_1} \leqslant 10^?$, чтобы считать процесс $P_1$ квазипроцессом $P_2$, то есть $P_1$ - это квази$P_2$?
3) при выводе каких-либо формул в физике можно пренебрегать каким-либо слагаемым только в случае, если оно много меньше всех остальных?
3. Помогите понять распространённую фразу среди математиков и физиков: "С точностью до...": с точностью до запятой, с точностью до знака, с точноcтью до постоянного множителя и др.
Если можно, конкретные примеры для конкретной фразы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение28.07.2018, 18:12 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
В общем-то во всех случаях конкретного ответа нет, вкладываемый во все это смысл сильнейшим образом зависит от контекста, причем предполагается, что слышащий/читающий это в курсе контекста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение28.07.2018, 18:30 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):
"С точностью до...": с точностью до запятой, с точностью до знака, с точноcтью до постоянного множителя и др.
Если можно, конкретные примеры для конкретной фразы.

Пожалуйста. С точностью до членов порядка $x^2$ включительно при $x\to 0$
$$e^x\simeq 1+x+\frac{1}{2}x^2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение28.07.2018, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):
1. Приближения. Я так понимаю, что приближение - это есть попытка описания какого-то явления с некоторыми допущения. Вопрос такой: как осуществляется градация приближений? Слышал фразы: "В первом приближении", "Во втором приближении" и т.п., но не понимал, что имеется в виду.

В физике подразумевается, что есть какие-то эффекты, факторы, вклады, оказывающие влияние на явление. И их можно количественно оценить и отсортировать по величине. И потом, их можно включать в рассмотрение под одному, по порядку убывания их величины.

В математике часто встречаются задачи, которые решаются цепочкой шагов. И можно за грубый ответ взять результат первого шага, за более точный - результат второго шага, и так далее. (А абсолютно точный ответ получается за бесконечное число шагов.) Наиболее часто рассматривается разложение некоторой функции в ряд типа ряда Тейлора
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x+\tfrac{1}{2!}f''(x_0)\,\Delta x^{2}+\ldots,$$ и частичные суммы этого ряда называются нулевым, первым, вторым приближением, и т. д. Однако бывают и случаи, когда решается какая-то итерационная задача, и "приближения" нумеруют итерации решения.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):
2. Пренебрежения:
1) где границы применения знаков $\ll$ и $\gg$; допустим, есть величина $A_1$ и величина $A_2$, $A_2 > A_1$. Когда я имею право написать $A_2 \gg A_1$? Я предположил, что $A_2 \gg A_1$ в случае, если $\frac{A_2}{A_1} \geqslant 10^3 $. Это верно?

В основном знак $A_2\gg A_1$ означает, что величиной $A_1$ можно пренебречь в сравнении с величиной $A_2.$ Вычисления приводятся к виду функций от $\tfrac{A_1}{A_2},$ и от них берётся первый неисчезающий член ряда Тейлора в нуле. Чаще всего это 0-й член или 1-й член, редко 2-й член.

Вот пример:
    Munin в сообщении #1322977 писал(а):
    Ваш рост (от земли до уровня глаз) 1 м 70 см. На каком расстоянии от вас находится горизонт?
    SNet в сообщении #1322979 писал(а):
    $\sqrt{2hR + h^2}$, где $R$ -- радиус Земли, $h$ -- мой рост (который чуть выше 1,7 м :D ). Красивая задача, спасибо!
    Munin в сообщении #1322985 писал(а):
    Смотрите. $\sqrt{2hR+h^2}=\sqrt{h(2R+h)}.$ А каково отношение $h$ к $2R$? По порядку величины - 1 к десяти миллионам. (Коэффициенты типа "полтора" в таких рассуждениях не учитываются.) Значит, если мы уберём слагаемое ${}+h$ из множителя $(R+h),$ то ошибёмся только в седьмом знаке после запятой. Заметьте, ведь мы и $R$ знаем намного грубее, так что реально мы даже и учесть это слагаемое не можем!

    Теперь следующий шаг. А насколько у нас испортится результат расчёта по формуле? Представим её в виде $\sqrt{2Rh(1+\tfrac{h}{2R})}$ - а заменяем мы её на, соответственно, $\sqrt{2Rh}.$ Значит, нам надо оценить, насколько $\sqrt{1+\tfrac{h}{2R}}$ отличается от единицы, когда слагаемое $\tfrac{h}{2R}$ мало́. Это вполне математический вопрос, ответ на который
      $\sqrt{1+\alpha}\approx 1+\tfrac{\alpha}{2}$
    может быть найден через производную от $\sqrt{x}$ в окрестности точки $x=1.$ Мы видим, что ошибка в седьмом знаке - остаётся в седьмом же знаке после запятой. И смело машем на неё рукой: расстояние до горизонта около 5 километров, а ошибка получается в масштабе долей миллиметра!

    -- 27.06.2018 19:07:36 --

    $(1+\alpha)^n\approx 1+n\alpha$
    $a^\alpha\approx 1+\alpha\ln a$
    $\log_a(1+\alpha)\approx\tfrac{\alpha}{\ln a}$
    $\sin\alpha\approx\alpha\approx\tg\alpha$
    $\cos\alpha\approx 1,\quad \cos\alpha\approx 1-\tfrac{\alpha^2}{2}$


Численно в задачах физики бывает так, что пренебрегают величинами $10^{-1},$ хотя чаще это величины порядка $10^{-2}\text{-}10^{-3}.$ Более точные расчёты обычно делаются при конструировании конкретных технических конструкций, экспериментальных приборов и методик, и требуемая точность может доходить до $10^{-8}$ и выше.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):
где границы применения приставки "квази-"

Обычно она применяется не количественно, а по смыслу.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):
3) при выводе каких-либо формул в физике можно пренебрегать каким-либо слагаемым только в случае, если оно много меньше всех остальных?

Всё зависит от того, какие требования по точности предъявляются к окончательному ответу.

Solaris86 в сообщении #1329305 писал(а):
3. Помогите понять распространённую фразу среди математиков и физиков: "С точностью до...": с точностью до запятой, с точностью до знака, с точноcтью до постоянного множителя и др.

"До запятой" никогда не слышал.

"До $k$ знаков" - означает, что в числах следует удерживать самое меньшее $k$ значимых десятичных цифр, то есть относительная погрешность должна быть $\delta\lesssim 10^{-k}.$ Формулы нельзя упрощать, если совершаемая ошибка больше этой величины.

"До постоянного множителя" - это распространённый приём упрощения расчётов, ещё его называют "с точностью до порядка". Если относительная погрешность допускается в пределах $\delta\lesssim 10^1,$ то можно выбросить из формул всякие множители типа $2\pi,4\pi,3!,$ а многие операции типа дифференцирования и интегрирования заменить грубыми оценками, например, $\int_a^b f(x)\,dx\to \max f\cdot(b-a).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение30.07.2018, 15:44 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Выражение "с точностью до запятой" используется в контексте устных или псевдо-устных вычислений (пример: "нетрудно сообразить, что $1{,}1 \times 1{,}2 = 132$ с точностью до запятой"). Означает "цифры результата вот такие-то вот, а в каком месте будет запятая, посчитаем потом отдельно".

-- 30.07.2018, 16:46 --

"C точностью до знака" используется в тех случаях, когда по каким-то причинам знак величины неважен или очевиден. Синоним "по абсолютной величине". Пример: "с точностью до знака, заряд электрона равен заряду протона".

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение30.07.2018, 16:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
warlock66613 в сообщении #1329558 писал(а):
"с точностью до запятой"

А-а-а!!! Не сообразил!

(В контексте физики, скорее сначала посчитают порядок, и уж потом только при уточнении - значащие цифры результата.)

Тогда мне вспоминаются ещё "с точностью до нормировки", "с точностью до калибровки", "с точностью до слагаемого / множителя данного вида" (например, "с точностью до константы интегрирования"), "с точностью до выбора сигнатуры / соглашения о знаках", и т. п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение30.07.2018, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953

(Оффтоп)

Пётр Маковецкий - Смотри в корень!

На столе лежит знаменитое ньютоновское яблоко, участвовавшее в открытии закона всемирного тяготения (если оно почему-либо внушает робость, то пусть будет обычное, с базара).
Что нужно было бы принять во внимание, чтобы вычислить абсолютно точно ту силу, с которой яблоко в данный момент давит на стол?
....
....
....


Плюнь тому в глаза, кто скажет, что можно обнять необъятное!
Козьма Прутков. «Мысли и афоризмы», №104.

1. Масса яблока меняется во времени: испарение воды под действием тепла и солнечных лучей (либо отсыревание от атмосферной влаги); выделение и поглощение газов из-за продолжающихся химических реакций, сопровождающих созревание, фотосинтез, гниение; вылет электронов под действием световых, рентгеновских и гамма-лучей; поглощение бомбардирующих яблоко протонов, нейтронов, электронов, световых и других квантов; излучение собственных радиоволн и поглощение радиоволн, излучаемых вами, и т.д. – все это влияет на массу яблока.

2. Ускорение свободного падения меняется и в пространстве, и во времени. В пространстве – зависит от географической широты (потому что Земля – не шар, а геоид), от высоты над уровнем моря (обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли). Поскольку маловероятно, чтобы при переносе яблока с базара на стол ничуть не изменилась ни его широта, ни высота, над уровнем моря, то по этим причинам ускорение свободного падения стало иным*. Яблоко несимметрично, поэтому, перевернув его на другой бок, вы изменили бы высоту его центра масс и, следовательно, ускорение свободного падения. Земной шар неоднороден, по отношению к столу массы внутри шара расположены иначе, чем по отношению к базару, изменилось положение яблока и по отношению к другим массам – домам, деревьям и т.д.

* Более того, ускорение свободного падения неодинаково даже по отношению к двум чашкам весов. Поэтому, переставив местами гирю и яблоко, мы в принципе должны получить иные результаты.

Все это надо учитывать при абсолютно точном решении вопроса.

Во времени ускорение свободного падения меняется из-за непрерывного перемещения масс внутри земного шара, роста одних гор и понижения других; из-за перемещения морских волн, облаков, бульдозеров, пешеходов и бактерий; из-за непрерывного возрастания массы Земли благодаря выпадению метеорной пыли и уменьшения массы благодаря отлету экспедиции на Венеру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение03.08.2018, 10:16 


28/01/15
662
Спасибо за ответы!
Поясните, пжлста, использованные знаки $\simeq$ и $\lesssim$, раньше таких не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение03.08.2018, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
$\lesssim$ я использую в значении "сравнимо по порядку величины, или меньше".

$\simeq$ мне самому интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение03.08.2018, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Munin в сообщении #1330350 писал(а):
$\simeq$ мне самому интересно.
Это и впрямь не однозначно. Вот тут: https://math.stackexchange.com/questions/1656013/meaning-of-simeq-symbol пишут, что это может обозначать "изоморфно", "асимптотически эквивалентно", а также не совсем правильно используется как обычное "приближённо равно" ($\approx$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение03.08.2018, 18:50 


28/01/15
662
Eule_A
Можете тогда вы пояснить, что имели в виду под знаком $\simeq$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приближения, пренебрежения и т.п. в физике и математике.
Сообщение30.11.2018, 12:51 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
warlock66613 в сообщении #1329558 писал(а):
Выражение "с точностью до запятой" используется в контексте устных или псевдо-устных вычислений

Это из области расчетов на логарифмической линейке, где сначала перемещением движка и визира определялись значащие цифры (не более 3), а затем грубым устным подсчетом определялся порядок величины, и соответственно место запятой. В музеях до сих пор лежат линейки знаменитых инженеров, например Королева и пр. С собой при проходе по цехам носилась обычно половинная 12,5 см, умещалась в нагрудном кармане спецовки (круглая циферблатная - плохой тон), на рабочем месте лежала полная 25 см. Слышал про уникальные метровые, но в жизни не видал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group