найти значения аргументов, при которых достигается минимум

[follow_the_sun]

Используя методы, доступные абитуриенту, найти при каких $x,y\in (0;\dfrac{\pi}{2})$ достигается минимум выражения:
$(1+\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)})(1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y})^2(1+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x})^4$ (1)

Бессодержательные попытки решения:
Минимальность $(1)$ равносильна минимуму суммы
$\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}+\dfrac{2\cos x}{3\cos y}+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}$
Я пробовал и складывать и рассматривать различные варианты типа $x>y$ и $y>x$ ( мне кажется, один из ответов $x=y=\dfrac{\pi}{4}$ и я хотел получить какую-то оценку, приводящую к нему). Подскажите идею решения, пожалуйста.

[iifat]

follow_the_sun в сообщении #1328898 писал(а):

минимуму суммы
$\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}+\dfrac{2\cos x}{3\cos y}+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}$

$\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}+2\dfrac{2\cos x}{3\cos y}+4\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}$, не?

[pogulyat_vyshel]

follow_the_sun
поздравляю вас с прошедшими экзаменами в МГУ

[novichok2018]

Всё неотрицательно. Значит, когда первая скобка равна нулю, а остальные просто определены.
Останется упражнений на формулу вспомогательного аргумента с учётом приятного равенства $4+5=9=3^2$.

[alisa-lebovski]

novichok2018 в сообщении #1328908 писал(а):

Всё неотрицательно. Значит, когда первая скобка равна нулю, а остальные просто определены.
Останется упражнений на формулу вспомогательного аргумента с учётом приятного равенства $4+5=9=3^2$.

Нет, при заданных условиях здесь все тригонометрические выражения положительны.

На самом деле, все сводится к оценке $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ для $a,b>0$ (иногда примененной несколько раз).

[novichok2018]

Согласен, ошибся.

[follow_the_sun]

pogulyat_vyshel

(Оффтоп)

Спасибо, конечно .Я учусь на инженера . В МГУ сдавал в прошлом году, спокойно проходил на геофак, но на мехмат не хватило (ДВИ 75), так что все равно спасибо. Тогда, кстати, очень расстроился, но сейчас понимаю, все сложилось, вобщем-то к лучшему

[pogulyat_vyshel]

follow_the_sun в сообщении #1328929 писал(а):

В МГУ сдавал в прошлом году,

А задвчу выложили с экзаменов этого года, которые только что закончились

[follow_the_sun]

alisa-lebovski
У меня получилось (вашим методом), из минимальности первых двух членов произведения:
$1=\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}$
$3\cos y=2\cos x$
Отсюда можно найти некоторые углы

-- 26.07.2018, 17:48 --

pogulyat_vyshel
Ну да. Она ведь есть в группе в вк мехмата.

[novichok2018]

В выписанной системе очепятка или решений нет.

[follow_the_sun]

novichok2018
поправил

[novichok2018]

Первое уравнение всё равно на вспомогательный угол. Или есть короткий путь решения системы?

[follow_the_sun]

novichok2018
Я раскрыл синус суммы, потом выразил $\cos x$ из второго ур-я

[alisa-lebovski]

Первое уравнение верно, второе уже нет. Там надо дойти до корня четвертой степени, двойным применением неравенства (разбив единицу на части), чтобы возведением в квадрат частично сократилось до квадратного корня. Соответственно, в третьем слагаемом дойти до корня восьмой степени, чтобы частично сократилось возведением в четвертую степень.

[B@R5uk]

Разве не так эту задачу надо начинать решать:

$$\frac{2\cos x}{3\cos y}=a-1$$

$$\frac{\sin \left( x+y \right)}{7\sqrt{5}\cos x}=b-1$$

$$\[\frac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin \left( x+y \right)}=\frac{1}{21}\frac{3\cos y}{2\cos x}\frac{7\sqrt{5}\cos x}{\sin \left( x+y \right)}=\frac{1}{21\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)}\]$$

$$\[\left( 1+\frac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin \left( x+y \right)} \right){{\left( 1+\frac{2\cos x}{3\cos y} \right)}^{2}}{{\left( 1+\frac{\sin \left( x+y \right)}{7\sqrt{5}\cos x} \right)}^{4}}=\left( 1+\frac{1}{21\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)} \right){{a}^{2}}{{b}^{4}}\]$$