найти значения аргументов, при которых достигается минимум

[follow_the_sun]

alisa-lebovski
Почему нельзя так?
$(1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y})^2 \geqslant 4\dfrac{2\cos x}{3\cos y} $
Минимум выражения $(1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y})^2 $ достигается в случае равенства. Отсюда $(1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y})^2 = 4\dfrac{2\cos x}{3\cos y} \Rightarrow (1-\dfrac{2\cos x}{3\cos y})^2=0 \Rightarrow 1=\dfrac{2\cos x}{3\cos y}$

[alisa-lebovski]

B@R5uk

И потом дифференцировать по $a$ и $b$? Можно и так, наверное. Но это задача из экзамена для поступающих. Не факт, что они знают частные производные функции двух переменных и условия ее минимума. Это уже на первом курсе проходят.

follow_the_sun

Нельзя просто минимизировать каждое выражение по отдельности, нужно найти минимум всего произведения. Если привести все к корням, как я говорила, то вся тригонометрия сократится, останется просто число.

[follow_the_sun]

alisa-lebovski

alisa-lebovski в сообщении #1328988 писал(а):

Там надо дойти до корня четвертой степени, двойным применением неравенства (разбив единицу на части), чтобы возведением в квадрат частично сократилось до квадратного корня

Вот так?
$1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{2\cos x}{3\cos y}}=2\sqrt{(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})\dfrac{2\cos x}{3\cos y}}=2\sqrt{\dfrac{2\cos x}{6\cos y}+\dfrac{2\cos x}{6\cos y}}\geqslant 2\sqrt{2}({\dfrac{4\cos^2 x}{36\cos^2 y})^{\frac{1}{4}} $
А решение, которое вы предлагаете - авторское?

[pogulyat_vyshel]

полезно отдельно перемножить дроби с тригонометрией и посмотреть что получится

[alisa-lebovski]

follow_the_sun в сообщении #1329116 писал(а):

alisa-lebovski Вот так?

Нет, надо сначала разбить единицу на две части, а не потом. То есть использовать следующее:

$$a+1=a+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\ge 2\sqrt{\frac{a}{3}}+\frac{2}{3}\ge 4\left(\frac{a}{27}\right)^{1/4},$$

где равенство достигается при $a=1/3$. Аналогично довести третье слагаемое до корня восьмой степени.

В общем, дело в том, что известное неравенство $a+1\ge 2\sqrt{a}$$ может рассматриваться как частный случай задачи: при каком $C$ и в какой точке $x_0$ прямая $y=x+1$ является касательной к кривой вида $y=Cx^\alpha$$, где $x,C>0$, $0<\alpha<1$.

[follow_the_sun]

alisa-lebovski
Суть я понял, но мне кажется, ошибся в числовых коэффициентах
1.$1+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}\geqslant \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+2\sqrt{\dfrac{\sin(x+y)}{21\sqrt{5}\cos x}}\geqslant \dfrac{1}{3}+2(\dfrac{4\sin(x+y)}{189\sqrt{5}\cos x})^{\frac{1}{4}}\geqslant 2(\dfrac{64\sin(x+y)}{189\cdot 81\sqrt{5}\cos x})^{\frac{1}{8}}$

2.$1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y}\geqslant 4(\dfrac{2\cos x}{81\cos y})^{1/4}$

3.$1+\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}}$

4. Объединяя 1,2,3, имеем:
$(1+\dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)})(1+\dfrac{2\cos x}{3\cos y})^2(1+\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{5}\cos x})^4\geqslant 2\cdot 4^2\cdot 2^4 \sqrt{\dfrac{64\sin(x+y)}{189\cdot 81\sqrt{5}\cos x}\cdot \dfrac{2\cos x}{81\cos y}\cdot \dfrac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin(x+y)}} $

[alisa-lebovski]

В пункте 1 не совсем точно. Хитрость в том, что дважды применяя неравенство. нужно следить за тем, чтобы оно оба раза переходило в равенство в одной и той же точке (при равенстве друг другу объединяемых слагаемых). То есть для восьмой степени единицу уже не на трети надо разбивать, а на что-то другое. Согласна, что догадаться в частных случаях трудно, если не знать общую задачу про касательную, как я написала.

[follow_the_sun]

alisa-lebovski
А какой процент поступающих решил эту задачу, вы не в курсе?

[alisa-lebovski]

У меня друг из МГУ был среди проверявших, который потом делится вариантами и впечатлениями, сказал, что из тех 40 работ, что он проверял, никто не решил, и он сам бы сходу не решил, если бы проверяющим не раздавали решения. Такая статистика, какой процент решил эту задачу, может быть только у большого начальства, они не делятся. Но вообще и не обязательно было ее решать, потому что 100 баллов ставили за 7 решенных задач из 8.

[follow_the_sun]

alisa-lebovski
Нам говорили на консультации, что наибольшее количество задач, решенных кем-либо принимают за 100 баллов. Значит никто не решил 8? И в чем смысл таких задач, что они проверяют? Гениальность, математическую интуицию? И решение, которые вы мне подсказали - то, которое раздали им?

[alisa-lebovski]

Не знаю. Зачем такие задачи, не берусь судить. Решение то, которое им раздали.

[novichok2018]

Это не задача, а специальный класс-ребус. Есть немного людей, которые и их умеют решать. Для нормального педпроцесса и экзаменов они никому не нужны.

[follow_the_sun]

Большое спасибо всем, принявшем участии в обсуждении. Особенно alisa-lebovski. iifat, прошу прощения, что проигнорировал ваш вопрос, так как он был связан с моей изначально неправильной мыслью.

[alisa-lebovski]

И на всякий случай, все-таки дополню для восьмой степени, вдруг кому-то понадобится:

$$a+1=a+\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}\ge 2\sqrt{\frac{a}{7}}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}\ge 4\left(\frac{a}{7^3}\right)^{1/4}+\frac{4}{7}\ge 8\left(\frac{a}{7^7}\right)^{1/8},$$

равенство достигается при $a=1/7$. В общем случае:

$$a+1\ge n\left(\frac{a}{(n-1)^{n-1}}\right)^{1/n},$$

равенство достигается при $a=1/(n-1)$.